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lectures:xmath1

応用数学I

この講義では所謂「線形代数学」の講義をします。1)

  1. 行列の基本変形
  2. 行列の階数(ランク)
  3. 逆行列
  4. ベクトル空間
  5. 内積空間
  6. 行列の固有値と固有ベクトル
  7. 行列の対角化

について学びます。

行列

$$ A=\left[\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34} \end{array}\right] $$

零行列

全ての成分が0の行列。

零行列については、 $$O=\left[\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right]$$

  1. $A+O=O+A=A$
  2. $A+(-1)A=A-A=(-1)A+A=O$
  3. $AO=O$, $OA=O$ 2)

が成り立つ

正方行列

$$A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{array}\right]$$ 行と列の数が同じ行列。この講義では主にこの形の行列を扱う。以下の行列はすべて正方行列である。

単位行列

$$E=\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right]$$ 単位行列については、

  1. $AE=EA=A$

が成り立つ

冪零行列

$A\ne O$であっても$A^{2}=O$となるような行列があり、このような行列については$m>2$についても $$A^{m}=O$$ が成立する。

逆行列

$$AA^{-1}=A^{-1}A=E$$

正則行列

$$|A|\ne 0$$

余因子

$$\tilde{A}_{23}=\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&0&a_{14}\\0&0&1&0\\a_{31}&a_{32}&0&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&0&a_{44}\end{array}\right|$$

余因子行列

$$\tilde{A}=\left[\begin{array}{cccc}\tilde{A}_{11}&\tilde{A}_{21}&\tilde{A}_{31}&\tilde{A}_{41}\\\tilde{A}_{12}&\tilde{A}_{22}&\tilde{A}_{32}&\tilde{A}_{42}\\\tilde{A}_{13}&\tilde{A}_{23}&\tilde{A}_{33}&\tilde{A}_{43}\\\tilde{A}_{14}&\tilde{A}_{24}&\tilde{A}_{34}&\tilde{A}_{44}\end{array}\right]$$

対角行列

$$A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&0&0&0\\0&a_{22}&0&0\\0&0&a_{33}&0\\0&0&0&a_{44}\end{array}\right]$$

三角行列

$$A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\end{array}\right]$$

直交行列

$$A^{-1}={}^{t}A$$

対称行列

$$A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}&a_{34}\\a_{14}&a_{24}&a_{34}&a_{44}\end{array}\right]$$

転置行列

$${}^{t}A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{21}&a_{31}&a_{41}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}&a_{42}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}&a_{43}\\a_{14}&a_{24}&a_{34}&a_{44}\end{array}\right]$$

教科書

参考書

余因子

$$ \tilde{A}_{32}=\left|\begin{array}{cccc} a_{11}& 0 &a_{13}&a_{14}\\ a_{21}& 0 &a_{23}&a_{24}\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ a_{41}& 0 &a_{43}&a_{44} \end{array}\right| =(-1)^{3-1+2-1}\left|\begin{array}{ccc} a_{11}& a_{13}&a_{14}\\ a_{21}& a_{23}&a_{24}\\ a_{41}& a_{43}&a_{44} \end{array}\right| $$

行列式

$$|A|=\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{array}\right|=a_{11}\tilde{A}_{11}+a_{12}\tilde{A}_{12}+a_{13}\tilde{A}_{13}+a_{14}\tilde{A}_{14}$$

$$\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{array}\right|$$

逆行列

$$A^{-1}=\displaystyle\frac{1}{|A|}\tilde{A}$$

固有値

固有ベクトル

1)
この講義では行列やベクトルの成分、係数、スカラー、定数など具体的な数や変数はすべて実数であるとして扱い、複素数については扱いません。
2)
ただし積が定義できるとき
lectures/xmath1.txt · 最終更新: 2019/11/05 13:19 by kimi