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lectures:基本変形

基本変形と基本行列

基本変形

  • ある行(列)と他の行(列)を入れ替える
  • ある行(列)を定数倍する
  • ある行(列)の定数倍を他の行(列)に加える
行基本変形
($(n\times n)$基本行列)($(n\times m)$行列)
列基本変形
($(n\times m)$行列)($(m\times m)$基本行列)

基本行列

置換

$$ T_{ij}=\left[ {\begin{array}{ccccccc} 1&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\ {}& \ddots &{}&{}&{}&{}&{}\\ {}&{}&0&{}&1&{}&{}\\ {}&{}&{}& \ddots &{}&{}&{}\\ {}&{}&1&{}&0&{}&{}\\ {}&{}&{}&{}&{}& \ddots &{}\\ {}&{}&{}&{}&{}&{}&1 \end{array}} \right]$$

  • $ (T_{ij})_{\ell,m} = \delta_{\ell,m}-\delta_{\ell,i}\delta_{m,i}-\delta_{\ell,j}\delta_{m,j}+\delta_{\ell,i}\delta_{m,j} +\delta_{\ell,j}\delta_{m,i}$
  • ${}^tT_{ij}=T_{ij}$ ($T_{ij}=T_{ji}$)
  • $|T_{ij}|=-1$
  • $|T_{ij}A|=-|A|$
  • $T_{ij}^{-1}=T_{ij}$

スケール変換

$$ D_{i}(s) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\ {}& \ddots &{}&{}&{}&{}&{}\\ {}&{}&1&{}&{}&{}&{}\\ {}&{}&{}&s&{}&{}&{}\\ {}&{}&{}&{}&1&{}&{}\\ {}&{}&{}&{}&{}& \ddots &{}\\ {}&{}&{}&{}&{}&{}&1 \end{array}} \right] $$

  • $(D_{i}(s))_{\ell,m}=\delta_{\ell,m}-\delta_{\ell,i}\delta_{m,i}+s\delta_{\ell,i}\delta_{m,i}$
  • $D_{i}(1)=E$
  • $|D_{i}(s)|=s$
  • $|D_{i}(s)A|=s|A|$
  • $D_{i}(s)^{-1}=D_{i}(s^{-1})$

Row-addition transformations

$$ L_{ij}(s)=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\ {}& \ddots &{}&{}&{}&{}&{}\\ {}&{}&1&{}&s&{}&{}\\ {}&{}&{}& \ddots &{}&{}&{}\\ {}&{}&{}&{}&1&{}&{}\\ {}&{}&{}&{}&{}& \ddots &{}\\ {}&{}&{}&{}&{}&{}&1 \end{array}} \right]$$

  • $(L_{ij}(s))_{\ell,m}=\delta_{\ell,m}+s\delta_{\ell,i}\delta_{m,j}$
  • $L_{ij}(0)=E$
  • $|L_{ij}(s)|=1$
  • $|L_{ij}(s)A|=|A|$
  • $L_{ij}(s)^{-1}=L_{ij}(-s)$
lectures/基本変形.txt · 最終更新: 2021/08/04 13:34 by kimi

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