$\vec{u_1}, \vec{u_2},\vec{u_3},\cdots,\vec{u_k}\in\mathbf{R}^n,\,{c_1}, {c_2},{c_3},\cdots,{c_k}\in\mathbf{R}^1$について、 $$c_1\vec{u_1}+c_2\vec{u_2}+c_3\vec{u_3}+\cdots+c_k\vec{u_k}$$ を$\vec{u_1}, \vec{u_2},\vec{u_3},\cdots,\vec{u_k}$の一次結合という。

$\vec{u_1}, \vec{u_2},\vec{u_3},\cdots,\vec{u_k}\in\mathbf{R}^n,\,{c_1}, {c_2},{c_3},\cdots,{c_k}\in\mathbf{R}^1$について、 $$c_1\vec{u_1}+c_2\vec{u_2}+c_3\vec{u_3}+\cdots+c_k\vec{u_k}=\vec{0}$$ が成立するような$({c_1}, {c_2},{c_3},\cdots,{c_k})$の組みが

• $(0, 0,0,\cdots,0)$しか存在しない➡︎一次独立
• $(0, 0,0,\cdots,0)$以外にも存在する➡︎一次従属

1. $k>n$ (ベクトルの数が次元数より多い）➡︎いつでも一次従属
2. $k=n$
   1. $\det\left[\begin{matrix}\vec{u_1}&\vec{u_2}&\vec{u_3}&\cdots&\vec{u_n}\end{matrix}\right]\ne 0$➡︎一次独立
   2. $\det\left[\begin{matrix}\vec{u_1}&\vec{u_2}&\vec{u_3}&\cdots&\vec{u_n}\end{matrix}\right]=0$➡︎一次従属
3. $k<n$ （ベクトルの数が次元数より少ない）➡︎別途相談

$\vec{u_1}, \vec{u_2},\cdots,\vec{u_k}$ が一次従属である⇔$\vec{u_1}, \vec{u_2},\cdots,\vec{u_k}$の少なくとも１つは残りのベクトルの一次結合で書ける

$\exists c_j\ne 0$, $c_1\vec{u_1}+c_2\vec{u_2}+\cdots+c_j\vec{u_j}+\cdots+c_k\vec{u_k}=\vec{0}$

$\vec{u_j}=-\frac{c_1}{c_j}\vec{u_1}-\frac{c_2}{c_j}c_2\vec{u_2}-\cdots-\frac{c_k}{c_j}\vec{u_k}$