1次元シュレディンガー方程式 $${\cal H}\psi(x)=E\psi(x)$$

$${\cal H}= –\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x)$$

$$ –\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi(x) + V(x)\psi(x)=E\psi(x)$$ 周期ポテンシャル $$V(x+a)=V(x)$$ 並進操作$T_a$ $$T_a\psi(x)=\psi(x+a)$$

$x$を$x+a$で置き換えると、 $$ –\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi(x+a) + V(x+a)\psi(x+a)=E\psi(x+a)$$ $V(x+a)=V(x)$を用いると $$ –\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi(x+a) + V(x)\psi(x+a)=E\psi(x+a)$$

$[{\cal H}, T_a]=0$より${\cal H}$と$T_a$は同時固有関数をもつ。