演算子$A$と演算子$B$が可換であるとき、 $$AB=BA$$ $$[A,B]=AB-BA=0$$ 演算子$A$の固有値$a_i$に属する固有関数を$|a_i\rangle$とすると、 $$A|a_i\rangle=a_i|a_i\rangle$$ $$BA|a_i\rangle=a_iB|a_i\rangle$$ $$AB|a_i\rangle=a_iB|a_i\rangle$$ であるから、関数$B|a_i\rangle$も演算子$A$の固有値$a_i$に属する固有関数である

関数$B|a_i\rangle$は関数$|a_i\rangle$のスカラー倍でなければならないので、 $$B|a_i\rangle=c|a_i\rangle$$ これは関数$|a_i\rangle$が演算子$B$の固有関数であることを意味する。

$$A\sum_i c_i|i\rangle=a\sum_i c_i|i\rangle$$ $$B|i\rangle=aB|i\rangle$$ $$B|i\rangle=\sum_j c_{i,j}|j\rangle$$ $$\langle k|B|i\rangle=\sum_j c_{i,j}\langle k|j\rangle = c_{i,k}$$ $$\sum_k |k\rangle\langle k|=1$$ $$B|i\rangle=\sum_j c_j\left(\sum_k |k\rangle\langle k|\right)|j\rangle$$ $$B|i\rangle=\sum_k|k\rangle\sum_j c_j \langle k|j\rangle $$