演算子に対しては和の交換則は成立するが、積の交換則は成立しない。すなわちA, Bを演算子とすると、一般には $$ AB\ne BA $$ である。そこで $$ [A,B]=AB-BA $$ と定義し、これを交換子とよぶ。

一般に、交換子には次のような関係がなりたつ。ただし、$A$, $B$, $C$は演算子、$k$は単なる数（一般に複素数）であるとする。

1. $ [A,B]=-[B,A] $
   $ -[B, A] = -(BA-AB)=-BA+AB=AB-BA=[A,B] $
2. $ [kA, B] = [A, kB] = k [A, B] $
   $[kA,B] = (kA)B-B(kA)=k(AB-BA)=k[A,B] $
   $ [A,kB] = A(kB)-(kB)A=k(AB-BA)=k[A,B] $