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lectures:微分方程式の解法

微分方程式の解

はじめに

ポテンシャルエネルギーが一定値をとる領域でのシュレディンガー方程式は $$ \frac{d^2}{dx^2}f(x)+Af(x)=0 $$ のような形であらわされるが、この形の微分方程式は古典力学における調和振動子の運動方程式や、電磁波を記述するマクスウェル方程式、最も簡単な交流回路など様々な問題に対して共通にあらわれる基本的な微分方程式で、二階定係数線形斉次常微分方程式などと呼ばれている。

$A=0$のときは二階微分が零になることから$f(x)$は一次関数にならなくてはならない。そこで $a$を虚数まで含めて許すとすると$A=-a^2$とおいても、一般性を失わないので$$ \frac{d^2}{dx^2}f(x)-a^2f(x)=0 $$ を考えることにする。ただし、$a\ne 0$とする。

微分演算子と定数とは可換(交換可能)であることを思い出すと方程式は

\begin{align} \frac{d^2}{dx^2}f(x)-a^2f(x)&=\left(\frac{d^2}{dx^2}-a^2\right)f(x)\\ &=\left(\frac{d}{dx}-a\right)\left(\frac{d}{dx}+a\right)f(x)=0 \end{align}

のように書くことができる。 $$ \left(\frac{d}{dx}+a\right)f(x)=g(x) $$ とおくと、もとの二階の微分方程式は $$ \left(\frac{d}{dx}+a\right)f(x)=g(x)\\ \left(\frac{d}{dx}-a\right)g(x)=0\\ $$ の二つの連立一階微分方程式になる。

一階線形斉次常微分方程式

$$ \left(\frac{d}{dx}-a\right)g(x)=0 $$ は最も単純な微分方程式で $$ \begin{align} \left(\frac{d}{dx}-a\right)g(x)&=0\\ \frac{dg(x)}{dx}&=ag(x)\\ \frac{1}{g(x)}\frac{dg(x)}{dx}&=a\\ \end{align} $$ と変形し、両辺を不定積分すると $$ \int\frac{1}{g(x)}\frac{dg(x)}{dx}dx=\int adx = ax + C_1
$$ となり、左辺は $$ \int\frac{1}{g(x)}\frac{dg(x)}{dx}dx=\int\frac{1}{g(x)}d(g(x))=\ln |g(x)|+C_2 $$ となる。ただし、$C_1$, $C_2$は任意の定数(積分定数)である。したがって、 $$ \begin{align} \ln |g(x)|+C_2&=ax + C_1\\ |g(x)|&=e^{ax+C_1-C_2}\\ g(x)&=\pm e^{C_1-C_2}e^{ax}\\ \end{align} $$ $\pm e^{C_1-C_2}$を新たに定数$C_3$とおくことにより、 $$ g(x)=C_3 e^{ax} $$ と$g(x)$を求めることができる

一階線形非斉次常微分方程式

次に $$ \left(\frac{d}{dx}+a\right)f(x)=g(x) $$

を考えよう。ここで$g(x)=0$であれば前述の斉次方程式と同様に計算できて$f(x)=C e^{-ax}$の形の解になるはずである。任意の実数$a$, $x$について$e^{-ax}\ne 0$であることを使うと $$ u(x)=\frac{f(x)}{e^{-ax}} $$ と定義することによって $$ f(x)=e^{-ax}u(x) $$ とおくことができる。これをもとの微分方程式に代入すると \begin{align} \left(\frac{d}{dx}+a\right)f(x)&=\left(\frac{d}{dx}+a\right)e^{-ax}u(x)\\ &=\frac{d}{dx}\left(e^{-ax}u(x)\right)+a e^{-ax}u(x)\\ &=-e^{-ax}u(x)+e^{-ax}\frac{d u(x)}{dx}+a e^{-ax}u(x)\\ &=e^{-ax}\frac{d u(x)}{dx}=g(x) \end{align} したがって、 \begin{align} \frac{d u(x)}{dx}&=e^{ax}g(x)\\ u(x)&=\int e^{ax}g(x)dx \end{align} ここに$g(x)=C e^{ax}$を代入すると、 \begin{align} u(x)&=\int e^{ax}g(x)dx\\ &=\int C_3 e^{2ax}dx\\ &=\frac{C_3}{2a}e^{2ax}+D \end{align}

したがって $$ f(x)=e^{-ax}g(x)=Ce^{ax}+De^{-ax} $$ ここで$\frac{C_3}{2a}$をまとめて$C$とおいた。

まとめ

以上のことは$a$が一般の複素数の場合にも成り立つので$a=ik$とおくことにより、$b\ne 0$に対して $$ \frac{d^2}{dx^2}f(x)+k^2f(x)=0 $$ の解は $$ f(x)=Ce^{ikx}+De^{-ikx} $$ となることがわかる。

まとめると、 $$ \frac{d^2}{dx^2}f(x)+Af(x)=0 $$ の形の微分方程式(ただし、$A\ne 0$)の解は、

$A<0$のとき$A=-a^2$とおくと $$ f(x)=Ce^{ax}+De^{-ax} $$ $A>0$のとき$A=k^2$とおくと $$ f(x)=Ce^{ikx}+De^{-ikx} $$ となる。 この結果は今後、特に証明等を行わずによく用いる。

lectures/微分方程式の解法.txt · 最終更新: 2020/08/26 13:36 by kimi

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