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lectures:変数分離

直交座標での変数分離

三次元空間での時間に依存しないシュレディンガー方程式は $$ \begin{align} -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\varphi(x,y,z)&+\\ V(x,y,z)\varphi(x,y,z)&=E\varphi(x,y,z) \end{align}$$ である。ここで、ポテンシャルエネルギーが $$ V(x,y,z)=V_x(x)+V_y(y)+V_z(z) $$ の形をしている場合は変数分離を行うことができ、一次元の時間に依存しないシュレディ ンガー方程式三つに分解し、それぞれを解くことにより全体の解を求めることができる。 波動関数を $$ \varphi(x,y,z)=\varphi_x(x)\varphi_y(y)\varphi_z(z) $$ とおくと、シュレディンガー方程式は $$ \begin{align} -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\varphi_x(x)\varphi_y(y)\varphi_z(z)&+\\ \left(V_x(x)+V_y(y)+V_z(z)\right)\varphi_x(x)\varphi_y(y)\varphi_z(z)&=E\varphi_x(x)\varphi_y(y)\varphi_z(z) \end{align} $$ となる。 偏微分は関係する変数を含む関数にのみ演算されるので $$\begin{align} -\frac{\hbar^2}{2m}\left( \frac{\partial^2\varphi_x(x)}{\partial x^2}\varphi_y(y)\varphi_z(z)+ \varphi_x(x)\frac{\partial^2\varphi_y(y)}{\partial y^2}\varphi_z(z)+ \varphi_x(x)\varphi_y(y)\frac{\partial^2\varphi_z(z)}{\partial z^2} \right)&+\\ \left(V_x(x)+V_y(y)+V_z(z)\right)\varphi_x(x)\varphi_y(y)\varphi_z(z)&=E\varphi_x(x)\varphi_y(y)\varphi_z(z) \end{align} $$ これを整理すると、 $$\begin{align} &\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varphi_x(x)}{\partial x^2} +V_x(x)\varphi_x(x) \right)\varphi_y(y)\varphi_z(z)\\ &+\varphi_x(x)\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varphi_y(y)}{\partial y^2} +V_y(y)\varphi_y(y) \right)\varphi_z(z)\\ &+\varphi_x(x)\varphi_y(y)\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varphi_z(z)}{\partial z^2} +V_z(z)\varphi_z(z) \right) =E\varphi_x(x)\varphi_y(y)\varphi_z(z) \end{align} $$ 両辺を$\varphi_x(x)\varphi_y(y)\varphi_z(z)$で割ると $$ \begin{align} &\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\varphi_x(x)}\frac{\partial^2\varphi_x(x)}{\partial x^2} +V_x(x) \right)\\ &+\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\varphi_y(y)}\frac{\partial^2\varphi_y(y)}{\partial y^2} +V_y(y) \right)\\ &+\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\varphi_z(z)}\frac{\partial^2\varphi_z(z)}{\partial z^2} +V_z(z) \right) =E \end{align} $$ この第一、第二、第三の各項はそれぞれ $x$,$y$, $z$ だけの関数であり、それらの和が定数にな るためにはそれぞれが定数でなければならない。そこでその定数をそれぞれ$E_x$, $E_y$, $E_z$と おく、すなわち $$ \begin{align} -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\varphi_x(x)}\frac{\partial^2\varphi_x(x)}{\partial x^2} +V_x(x)&=E_x\\ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\varphi_y(y)}\frac{\partial^2\varphi_y(y)}{\partial y^2} +V_y(y)&=E_y\\ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\varphi_z(z)}\frac{\partial^2\varphi_z(z)}{\partial z^2} +V_z(z)&=E_z\\ \end{align} $$ とおくと、$E=E_x+E_y+E_z$ となる。 また、上式はそれぞれ $$ \begin{align} -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varphi_x(x)}{\partial x^2} +V_x(x)\varphi_x(x)&=E_x\varphi_x(x)\\ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varphi_y(y)}{\partial y^2} +V_y(y)\varphi_y(y)&=E_y\varphi_y(y)\\ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varphi_z(z)}{\partial z^2} +V_z(z)\varphi_z(z)&=E_z\varphi_z(z)\\ \end{align} $$ と書き直すことができ、これらは座標ごとの一次元の時間に依存しないシュレディンガー方程式に なっている。

lectures/変数分離.txt · 最終更新: 2020/08/24 15:57 by kimi

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