$$ \begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\ \vdots\\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}=b_{n} \end{cases} \Rightarrow \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&\,&b_{1}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&\,&b_{2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&\,&b_{n} \end{bmatrix} $$

• ある行を何倍かする（0倍以外）
• ある行の何倍かを他の行に加える
• ある行と別の行を交換する

$$ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&\,&b_{1}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&\,&b_{2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&\,&b_{n} \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} 1&\ast&\cdots&\ast&\,&\ast\\ 0&1&\cdots&\ast&\,&\ast\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&0&\,&0 \end{bmatrix} $$

• 解は無数に存在する（解にはパラメータが含まれる）

$$ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&\,&b_{1}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&\,&b_{2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&\,&b_{n} \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} 1&\ast&\cdots&\ast&\,&\ast\\ 0&1&\cdots&\ast&\,&\ast\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&\,&\ast \end{bmatrix} $$

• ただ1組の解をもつ

$$ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&\,&b_{1}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&\,&b_{2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&\,&b_{n} \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} 1&\ast&\cdots&\ast&\,&\ast\\ 0&1&\cdots&\ast&\,&\ast\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&0&\,&\ast \end{bmatrix} $$

• 解は存在しない

• ある行（列）と他の行（列）を入れ替える
• ある行（列）を定数倍する
• ある行（列）の定数倍を他の行（列）に加える

行基本変形

（$(n\times n)$基本行列）（$(n\times m)$行列）

列基本変形

（$(n\times m)$行列）（$(m\times m)$基本行列）

$$ T_{ij}=\left[ {\begin{array}{ccccccc} 1&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\ {}& \ddots &{}&{}&{}&{}&{}\\ {}&{}&0&{}&1&{}&{}\\ {}&{}&{}& \ddots &{}&{}&{}\\ {}&{}&1&{}&0&{}&{}\\ {}&{}&{}&{}&{}& \ddots &{}\\ {}&{}&{}&{}&{}&{}&1 \end{array}} \right]$$

• $ (T_{ij})_{\ell,m} = \delta_{\ell,m}-\delta_{\ell,i}\delta_{m,i}-\delta_{\ell,j}\delta_{m,j}+\delta_{\ell,i}\delta_{m,j} +\delta_{\ell,j}\delta_{m,i}$
• ${}^tT_{ij}=T_{ij}$ ($T_{ij}=T_{ji}$)
• $|T_{ij}|=-1$
• $|T_{ij}A|=-|A|$
• $T_{ij}^{-1}=T_{ij}$

$$ D_{i}(s) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\ {}& \ddots &{}&{}&{}&{}&{}\\ {}&{}&1&{}&{}&{}&{}\\ {}&{}&{}&s&{}&{}&{}\\ {}&{}&{}&{}&1&{}&{}\\ {}&{}&{}&{}&{}& \ddots &{}\\ {}&{}&{}&{}&{}&{}&1 \end{array}} \right] $$

• $(D_{i}(s))_{\ell,m}=\delta_{\ell,m}-\delta_{\ell,i}\delta_{m,i}+s\delta_{\ell,i}\delta_{m,i}$
• $D_{i}(1)=E$
• $|D_{i}(s)|=s$
• $|D_{i}(s)A|=s|A|$
• $D_{i}(s)^{-1}=D_{i}(s^{-1})$

$$ L_{ij}(s)=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\ {}& \ddots &{}&{}&{}&{}&{}\\ {}&{}&1&{}&s&{}&{}\\ {}&{}&{}& \ddots &{}&{}&{}\\ {}&{}&{}&{}&1&{}&{}\\ {}&{}&{}&{}&{}& \ddots &{}\\ {}&{}&{}&{}&{}&{}&1 \end{array}} \right]$$

• $(L_{ij}(s))_{\ell,m}=\delta_{\ell,m}+s\delta_{\ell,i}\delta_{m,j}$
• $L_{ij}(0)=E$
• $|L_{ij}(s)|=1$
• $|L_{ij}(s)A|=|A|$
• $L_{ij}(s)^{-1}=L_{ij}(-s)$