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基本変形と基本行列
基本変形
- ある行(列)と他の行(列)を入れ替える
- ある行(列)を定数倍する
- ある行(列)の定数倍を他の行(列)に加える
基本行列
置換行列
$$ T_{ij}=\left[ {\begin{array}{ccccccc} 1&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\ {}& \ddots &{}&{}&{}&{}&{}\\ {}&{}&0&{}&1&{}&{}\\ {}&{}&{}& \ddots &{}&{}&{}\\ {}&{}&1&{}&0&{}&{}\\ {}&{}&{}&{}&{}& \ddots &{}\\ {}&{}&{}&{}&{}&{}&1 \end{array}} \right]$$
- $ (T_{ij})_{\ell,m} = \delta_{\ell,m}-\delta_{\ell,i}\delta_{m,i}-\delta_{\ell,j}\delta_{m,j}+\delta_{\ell,i}\delta_{m,j} +\delta_{\ell,j}\delta_{m,i}$
- $T_{ij}=T_{ji}$
- $|T_{ij}|=-1$
- $T_{ij}^{-1}=T_{ij}$
スケール変換
$$ D_{i}(s) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\ {}& \ddots &{}&{}&{}&{}&{}\\ {}&{}&1&{}&{}&{}&{}\\ {}&{}&{}&s&{}&{}&{}\\ {}&{}&{}&{}&1&{}&{}\\ {}&{}&{}&{}&{}& \ddots &{}\\ {}&{}&{}&{}&{}&{}&1 \end{array}} \right] $$
- $(D_{i}(s))_{\ell,m}=\delta_{\ell,m}-\delta_{\ell,i}\delta_{m,i}+s\delta_{\ell,i}\delta_{m,i}$
- $|D_{i}(1)|=E$
- $|D_{i}(s)|=s$
- $D_{i}(s)^{-1}=D_{i}(s^{-1})$
Row-addition transformations
$$ L_{ij}(s)=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\ {}& \ddots &{}&{}&{}&{}&{}\\ {}&{}&1&{}&s&{}&{}\\ {}&{}&{}& \ddots &{}&{}&{}\\ {}&{}&{}&{}&1&{}&{}\\ {}&{}&{}&{}&{}& \ddots &{}\\ {}&{}&{}&{}&{}&{}&1 \end{array}} \right]$$
$$ (L_{ij}(s))_{\ell,m}=\delta_{\ell,m}+s\delta_{\ell,i}\delta_{m,j}$$