$m=1,2,3,\cdots$のとき、 $$ (x^{-m})'=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\left(\frac{1}{(x+h)^m}-\frac{1}{x^m}\right)$$ $$\frac{1}{(x+h)^m}-\frac{1}{x^m}=-\frac{(x+h)^m-x^m}{(x+h)^mx^m}=-\frac{mx^{m-1}h+\frac{m(m-1)}{2}x^{m-2}h^2+\cdots+h^{m}}{(x+h)^mx^m}$$であるから $$\frac{1}{h}\left(\frac{1}{(x+h)^m}-\frac{1}{x^m}\right)=-\frac{mx^{m-1}+\frac{m(m-1)}{2}x^{m-2}h+\cdots+h^{m-1}}{(x+h)^mx^m}$$ $$\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\left(\frac{1}{(x+h)^m}-\frac{1}{x^m}\right)=-\frac{mx^{m-1}}{x^{2m}}$$ したがって、 $$ (x^{-m})'=-mx^{-m-1}$$ $n=-m$とおくと、 $$ (x^{n})'=nx^{n-1}$$