乱数

でたらめに並んだ数字の列

• サイコロを振る
  • 正２０面体サイコロ
• 物理現象を利用する
  • 放射線、電流のノイズ
• 国勢調査などの中から数字を抜き出す

疑似乱数

ある規則に従って「乱数のようなもの」を作る

計算機などを用いて生成した
でたらめに近い数字の列

• 再現性
• 周期性

• 乱数の性質のうちいくつかを再現する数列
  • それぞれの数が出現する頻度が一様
  • (一桁の整数の乱数)
5の次に6が来る頻度は1/10
  • (0と1の乱数)
長さn+1の連の個数と長さnの連の個数の比は1/2
  • 一部を取り出しても偏りがない。
 ⇒ 局所ランダム性

• 一様乱数の発生法
  • 線形合同法
  • Lagged Fibonacci法
  • M系列法
  • Mersenne Twister法

• Lehmer, 1948)

$$X_n= (aX_{n-1}+c) \pmod M$$

$$X_n= (aX_{n-1}) \pmod M$$

• $c = 0$, $a = 11$, $M = 2^5 = 32$, $X_0 = 1$

$$ \begin{matrix} & & 1\\ 1*11 \pmod {32} & &= 11\\ 11*11 \pmod {32} &= 121 \pmod {32} &= 25\\ 25*11 \pmod {32} &= 275 \pmod {32} &= 19\\ 19*11 \pmod {32} &= 209 \pmod {32} &= 17\\ 17*11 \pmod {32} &= 187 \pmod {32} &= 27\\ 27*11 \pmod {32} &= 297 \pmod {32} &= 9\\ 9*11 \pmod {32} &= 99 \pmod {32} &= 3\\ 3*11 \pmod {32} &= 33 \pmod {32} &= 1 \end{matrix} $$

• 周期：8

• $0$から$M–1$の間の整数の乱数を生成する
• $n$番目の乱数は$n–1$番目の乱数により決まる
• 最大周期は$M$である
• 1周期の中に同じ数は2度出てこない
• $a$と$M$は互いに素にとらないと充分にデタラメにならない
• 結晶構造になる

• $[0, M–1]$の乱数$\{x_i\}$を$[0, 1)$の乱数$\{u_i\}$に変換
  • $ u_i = \displaystyle\frac{x_i}{M}$

例）$c = 0$, $a = 177$, $M = 2^15$, $X_0 = 1$

• $X_n = (aX_{n–1} + c) \pmod M$
• rand（cの元標準乱数）
  • $a=1103515245$, $c=12345$, $M=2^{31}$ (BSD)
• drand48（randの代替標準乱数）
  • $a=25214903917$, $c=11$, $M=2^{48}$

$2^{31}$個発生させ、2個ずつペアにして$x$-$y$座標としてプロット
rand()	drand48()
$M=2^{31}$	$M=2^{48}$
周期：$2^{31}$	周期：$2^{48}$

$$X_n=f(X_{n-r}, X_{n-s}) \pmod M$$

$r$, $s$, $M$: 整数（$r>s$）

• 周期は最大$(2^w–1)(2^r–1)$（$w$はワード長）
• 連続する乱数の和の分布が正規分布からずれる

• random（Cの現標準乱数）
• $X_n = (X_{n–r} + X_{n–s}) \pmod M$

$r=31$, $s=28$, $M=2{31}$

周期:$\sim 2^{62}$

• Maximum length linearly recurring sequence

$$R_n=R_{n-p}\oplus R_{n-q}$$

• 周期は$2^p–1$で比較的長い。
• 演算が単純⇒高速
• 結晶構造にならない。

• 松本-西村 1997
• $x_{n+p} = x_{n+q}\oplus x_{n+1}B\oplus x_n A$
  • $A$, $B$ ある特別な$w\times w$行列
  • $p$, $q$ はある特別な整数
  • 周期は $2^{19937}–1$
  • 623次元空間で均等に分布

• $\{u_i\}$ $(0\le u_i<1)$: 一様乱数
• $x_i=-\displaystyle\frac{1}{\lambda}\ln {u_i}$
• $\{x_i\}$: $f(x)\propto \mathrm{e}^{-\lambda x}$の指数分布に従う乱数

• $\{u_i\}$, $\{v_i\}$ $(0\le u_i, v_i<1)$: 一様乱数
• $x_i=\sqrt{-2\ln {u_i}}\cos{(2\pi v_i)}$
• $y_i=\sqrt{-2\ln {u_i}}\sin{(2\pi v_i)}$
• $\{x_i\}$, $\{y_i\}$: 平均0, 標準偏差1の正規分布に従う乱数

• $\{u_i\}$ $(0\le u_i<1)$: 一様乱数
• $x_k=(u_{12k}+u_{12k+1}+u_{12k+2}+\cdots+u_{12k+10}+u_{12k+11})-6$
• $\{x_i\}$: 平均0, 標準偏差1の正規分布に従う乱数