• ある行（列）と他の行（列）を入れ替える
• ある行（列）を定数倍する
• ある行（列）の定数倍を他の行（列）に加える

行基本変形

（$(n\times n)$基本行列）（$(n\times m)$行列）

列基本変形

（$(n\times m)$行列）（$(m\times m)$基本行列）

$$ T_{ij}=\left[ {\begin{array}{ccccccc} 1&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\ {}& \ddots &{}&{}&{}&{}&{}\\ {}&{}&0&{}&1&{}&{}\\ {}&{}&{}& \ddots &{}&{}&{}\\ {}&{}&1&{}&0&{}&{}\\ {}&{}&{}&{}&{}& \ddots &{}\\ {}&{}&{}&{}&{}&{}&1 \end{array}} \right]$$

• $ (T_{ij})_{\ell,m} = \delta_{\ell,m}-\delta_{\ell,i}\delta_{m,i}-\delta_{\ell,j}\delta_{m,j}+\delta_{\ell,i}\delta_{m,j} +\delta_{\ell,j}\delta_{m,i}$
• ${}^tT_{ij}=T_{ij}$ ($T_{ij}=T_{ji}$)
• $|T_{ij}|=-1$
• $|T_{ij}A|=-|A|$
• $T_{ij}^{-1}=T_{ij}$

$$ D_{i}(s) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\ {}& \ddots &{}&{}&{}&{}&{}\\ {}&{}&1&{}&{}&{}&{}\\ {}&{}&{}&s&{}&{}&{}\\ {}&{}&{}&{}&1&{}&{}\\ {}&{}&{}&{}&{}& \ddots &{}\\ {}&{}&{}&{}&{}&{}&1 \end{array}} \right] $$

• $(D_{i}(s))_{\ell,m}=\delta_{\ell,m}-\delta_{\ell,i}\delta_{m,i}+s\delta_{\ell,i}\delta_{m,i}$
• $D_{i}(1)=E$
• $|D_{i}(s)|=s$
• $|D_{i}(s)A|=s|A|$
• $D_{i}(s)^{-1}=D_{i}(s^{-1})$

$$ L_{ij}(s)=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\ {}& \ddots &{}&{}&{}&{}&{}\\ {}&{}&1&{}&s&{}&{}\\ {}&{}&{}& \ddots &{}&{}&{}\\ {}&{}&{}&{}&1&{}&{}\\ {}&{}&{}&{}&{}& \ddots &{}\\ {}&{}&{}&{}&{}&{}&1 \end{array}} \right]$$

• $(L_{ij}(s))_{\ell,m}=\delta_{\ell,m}+s\delta_{\ell,i}\delta_{m,j}$
• $L_{ij}(0)=E$
• $|L_{ij}(s)|=1$
• $|L_{ij}(s)A|=|A|$
• $L_{ij}(s)^{-1}=L_{ij}(-s)$