フーリエ展開は$f\left( {x + 2L} \right) = f\left( x \right)$を満たすような周期関数を、三角関数の用いてあらわそうというものであった。この考え方は非常に有用なので周期関数でなくても同様のことができないだろうかというのがここで説明するフーリエ変換のはじまりである。実用上は単純明快で実際のデータは有限区間でしか定義されていないので、周期関数でなくても周期が非常に大きな関数のある部分だけを問題にしていると看做せばよい。この考え方をもうすこし厳密にしたのがフーリエ変換であるといえる。

$f(x+2L)=f(x)$

$\left|\displaystyle\int_{-L}^{L}f(x)dx\right|<\infty$

$$ f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{\frac{\pi}{L}nx} $$

周期$2L$の周期関数$f(x)$のフーリエ展開は $$ f\left( x \right) = \sum_{n = - \infty }^\infty {c_n \mathrm{e}^{ik_n x} } $$ のようにあらわされる。ただしここで $$ k_n = \frac{\pi }{L}n $$ とおいた。

$c_n$は $$ c_n = \frac{1}{{2L}}\int_{- L}^L {f\left( x \right)\mathrm{e} ^{ - ik_n x} \mathrm{d}x} $$ で与えられる。

そこで$L\to\infty$の極限をとることを考えよう。

フーリエ級数を $$ f\left( x \right) = \sum_{n = - \infty }^{-1} {c_n \mathrm{e}^{ik_n x} } +c_0+\sum_{n = 1 }^\infty {c_n \mathrm{e}^{ik_n x} } $$ のように分割して考える。$k_n = \frac{\pi }{L}n$より$k_{-n}=-k_n$、および$c_{-n}=c_n^\ast$であるから、 $$ \sum_{n = - \infty }^{-1} {c_n \mathrm{e}^{ik_n x} } =\sum_{n = 1}^{\infty } {c_{-n} \mathrm{e}^{-ik_n x} } =\left(\sum_{n = 1}^{\infty } {c_{n} \mathrm{e}^{ik_n x} } \right)^\ast $$

以下反古

• 定数関数
• $\frac{\sin ax}{x}$
• $e^{-a|x|}$
• ローレンツ関数
• ガウス関数
• 楔型（三角波）

– 積分変数はなんでもいいので $$ f(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}F(k){\rm e}^{ikx}{\rm d}k $$

$$ F(k)=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(x){\rm e}^{-ikx}{\rm d}x $$

$$ \delta(x)=\displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{ikx}{\rm d}k $$