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amath2:楔型_三角波

楔形関数のフーリエ変換/三角波のフーリエ展開

$$ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{iux}du $$ とすると$F(u)$は $$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-iut}dt $$ これに$-a<x<a$で $$ f(x) = b\left(1-\frac{|x|}{a}\right) $$ を代入すると $$ F(u)=\frac{b}{2\pi}\int_{-a}^{a}\left(1-\frac{|t|}{a}\right)e^{-iut}dt $$ ただし$a>0$, $b>0$とする。

$f(x)$が偶関数であることを用いると $$ F(u)=\frac{b}{\pi}\int_{0}^{a}\left(1-\frac{t}{a}\right)\cos(ut)dt$$

ここで $$ \frac{d}{dt}\left\{\left(1-\frac{t}{a}\right)\sin(ut)\right\}=-\frac{1}{a}\sin(ut)+\left(1-\frac{t}{a}\right)u\cos(ut)$$

この両辺を$t$で不定積分すると、 $$ \left(1-\frac{t}{a}\right)\sin(ut)=\frac{1}{au}\cos(ut)+u\int\left(1-\frac{t}{a}\right)\cos(ut)dt$$ ただし積分定数は省略した。これより$[0,a]$の定積分は $$ \left[\left(1-\frac{t}{a}\right)\sin(ut)\right]_{t=0}^{t=a}=0=\frac{1}{au}(\cos(au)-1)+u\int_0^a\left(1-\frac{t}{a}\right)\cos(ut)dt$$ したがって

$$ F(u)=\frac{b}{\pi}\int_{0}^{a}\left(1-\frac{t}{a}\right)\cos(ut)dt=\frac{b}{\pi}\frac{1}{au^2}(1-\cos(au))$$

ここで、 $$\cos z=1-2\sin^2\frac{z}{2}$$ をもちいると、 $$ F(u)=\frac{2b}{\pi}\frac{\sin^2(\frac{au}{2})}{au^2}=\frac{ab}{2\pi}\frac{\sin^2(\frac{au}{2})}{(\frac{au}{2})^2}$$

amath2/楔型_三角波.txt · 最終更新: 2020/07/28 14:21 by kimi

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