$$ \frac{d}{dx}\left(e^{-ax}\sin(bx)\right)=-a e^{-ax}\sin(bx)+b e^{-ax}\cos(bx) $$

$$ e^{-ax}\sin(bx)+C=-a \int e^{-ax}\sin(bx)dx +b \int e^{-ax}\cos(bx)dx $$

$$ \frac{d}{dx}\left(e^{-ax}\cos(bx)\right)=-a e^{-ax}\cos(bx)-b e^{-ax}\sin(bx) $$

$$ e^{-ax}\cos(bx)+C=-a \int e^{-ax}\cos(bx)dx-b \int e^{-ax}\sin(bx)dx $$

$$ \frac{d}{dx} \begin{bmatrix} e^{-ax}\cos(bx)\\e^{-ax}\sin(bx) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -a e^{-ax}\cos(bx)-b e^{-ax}\sin(bx)\\b e^{-ax}\cos(bx)-a e^{-ax}\sin(bx) \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix} a&b\\-b&a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e^{-ax}\cos(bx)\\e^{-ax}\sin(bx) \end{bmatrix} $$

$$ \begin{bmatrix} a&b\\-b&a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} =\lambda \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} $$

$$ \begin{vmatrix} a-\lambda&b\\-b&a-\lambda \end{vmatrix}=0 $$

$$ \begin{align} (a-\lambda)^2+b^2&=0\\ \lambda-a&=\pm bi\\ \lambda&=a\pm bi\\ \end{align} $$ $\lambda=a+ bi$のとき

$$ \begin{bmatrix} -bi&b\\-b&-bi \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} =0 $$

$\lambda=a- bi$のとき $$ \begin{bmatrix} bi&b\\-b&bi \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} =0 $$