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アンサンブル平均

アンサンブル平均

物理量の期待値

物理量の期待値は
$$\displaystyle\langle A\rangle=\sum_{j=0}^{M-1}u_jA_j$$
で与えられる。 ただし、
$ M$ は系の状態の数、
$u_j$ は状態$ j$の実現する確率、
$A_j$ は状態$ j$が実現しているときの物理量$ A$の値、
である。

状態の実現する確率

粒子数が変化しない場合(Canonical Ensemble)

統計力学の帰結から、状態$ J$ が実現する確率$ u_J$ は、その状態のエネルギー$ E_J$ と温度$ T$ をもちいて

$u_J\propto\exp\left(-\displaystyle\frac{E_J}{k_B T}\right)$

のように書ける。ただし、$ k_B$はボルツマン定数である。

分配関数 $ Z$を

$Z = \displaystyle\sum_{J}u_J=\sum_{J}\exp\left(-\frac{E_J}{k_B T}\right)$

と定義すると、期待値$ \langle A\rangle$は

$ \langle A\rangle=\displaystyle\sum_{J}A_J\exp\left(-\frac{E_J}{k_B T}\right)$

で与えられる。

粒子の吸着しうる「席」がM 個並んでおり、その上にN 個の粒子が吸着しているとする。1個吸着したときの吸着のエネルギーをe とする。

吸着している「席」を1で、吸着していない「席」を0で表わす。0と1の分布を一つ決めると、状態が一つ決まる

M =4 N =1	
J=0  1000
J=1  0100
J=2  0010
J=3  0001

状態 J の全系のエネルギーは、

状態 J の生じる確率は、 ;

課題1: 上の例で、M =4 N =2 のとき、どのような状態があるか、すべて書く。また、それらの状態での全系のエネルギーとそれらの状態の生じる確率を求める。

粒子数が変化する場合(Grand Canonical Ensemble)

統計力学の帰結から、状態 J が実現する確率は、その状態のエネルギー EJ 、温度 T、粒子数 N 、化学ポテンシャル m で以下のように書ける。

; はボルツマン定数 大分配関数 期待値 例:粒子の吸着しうる「席」がM 個並んでおり、粒子が吸着したり脱離したりしているとする。1個吸着したときの吸着のエネルギーをe とする。

吸着している「席」を1で、吸着していない「席」を0で表わす。0と1の分布を一つ決めると、状態が一つ決まる

M =3	
J=0  000
J=1  100
J=2  010
J=3  001
J=4  110
J=5  101
J=6  011
J=7  111

状態 J の全系の粒子数は、 ; (はi番目の「席」に吸着していれば1、そうでなければ0) 状態 J の全系のエネルギーは、 状態 J の生じる確率は、 ; 課題2: 上の例で、M =4 のとき、どのような状態があるか、すべて書く。また、それらの状態での全系のエネルギーとそれらの状態の生じる確率を求める。

課題3: 上の例で、M = 100 のとき、状態の数はどれくらいか。また、現在最高のコンピュータは1秒間に約 109 回の演算ができると言われているが、M = 100 の系での平均値を計算するのに、このコンピュータで最低どれだけの時間がかかるか求める。

課題1
Canonical Ensembleの例で、M=4, N=2のとき、どのような状態があるか、すべて書く。また、それらの状態での全系のエネルギーと状態の生じる確率を求める。
課題2
Grand Canonical Ensembleの例で、M=4のとき、どのような状態があるか、すべて書く。また、それらの状態での全系のエネルギーと状態の生じる確率を求める。
課題3
Grand Canonical Ensembleの例で、M = 100 のとき、状態の数はどれくらいか。また、1秒間に約 1012 回の演算ができるコンピュータを用いた場合、M = 100 の系での平均値を計算するのに、最低どれだけの時間がかかるか求める。
アンサンブル平均.txt · 最終更新: 2020/08/18 14:36 by kimi

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