Vesta用ファイル xyzファイル

セル内の原子をfccの単純基本格子ベクトル$\vec{a},\,\vec{b},\,\vec{c}$を使って

$$ \vec{r}_n=h_{n}\vec{a}+k_{n}\vec{b}+\ell_{n}\vec{c} $$

のようにおく。まず、セル内の全ての原子について$(h_{n},\,k_{n},\,\ell_{n})$を求めよ。

スーパーセルの基本格子ベクトル$\vec{A},\,\vec{B},\,\vec{C}$を

$$ \begin{array}{rcl} \vec{A}&=&2(\vec{b}-\vec{a})\\ \vec{B}&=&L(\vec{a}+\vec{b})\\ \vec{C}&=&u\vec{a}+v\vec{b}+w\vec{c} \end{array} $$

のように定義し、$(u,\,v,\,w)$と${L}$とを決定せよ。

$$ \vec{r}_n=\alpha_n\vec{A}+\beta_n\vec{B}+\gamma_n\vec{C} $$

となるように$(\alpha_n,\,\beta_n,\,\gamma_n)$を$(h_{n},\,k_{n},\,\ell_{n})$で表す。

$$ \begin{array}{rcl} \vec{r}_n&=&\alpha_n\vec{A}+\beta_n\vec{B}+\gamma_n\vec{C}\\ &=& \alpha_n 2(\vec{b}-\vec{a}) +\beta_n L(\vec{a}+\vec{b}) +\gamma_n (u\vec{a}+v\vec{b}+w\vec{c})\\ &=& (-2\alpha_n + L\beta_n + u\gamma_n) \vec{a} + (2\alpha_n + L\beta_n + v\gamma_n) \vec{b} + w\gamma_n \vec{c}\\ &=&h_{n}\vec{a}+k_{n}\vec{b}+\ell_{n}\vec{c} \end{array} $$

より

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} -2\alpha_n + L\beta_n + u\gamma_n &=& h_{n}\\ 2\alpha_n + L\beta_n + v\gamma_n &=& k_{n}\\ w\gamma_n &=& \ell_{n} \end{array} \right. $$

$$ \gamma_n = \displaystyle\frac{\ell_{n}}{w} $$

を代入すると

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} -2\alpha_n + L\beta_n &=& h_{n} - \displaystyle\frac{u}{w}\ell_{n}\\ 2\alpha_n + L\beta_n &=& k_{n} - \displaystyle\frac{v}{w}\ell_{n} \end{array} \right. $$

これを解き、

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} \alpha_n &=& \displaystyle\frac{1}{4}\left(-h_{n}+k_{n} + \displaystyle\frac{u-v}{w}\ell_{n}\right)\\ \beta_n &=& \displaystyle\frac{1}{2L}\left(h_{n}+k_{n} - \displaystyle\frac{u+v}{w}\ell_{n}\right)\\ \gamma_n &=& \displaystyle\frac{\ell_{n}}{w} \end{array} \right. $$

となることを確かめよ。

ここから、$(\alpha_n,\,\beta_n,\,\gamma_n)$を求めるようにpythonスクリプトをつくり、(553)面からなるスーパーセルを作成せよ。