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行列式
定義
存在証明等がないので厳密な定義ではないが、実用上一番すっきりするのは、
- 多重線形性
- 交代性
- 単位行列の行列式は$1$
を定義とするもの。
多重線形性
- $
|A|=\left|\begin{array}{cccc}a_{1}+b_{1}&a_{2}+b_{2}&a_{3}+b_{3}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{array}\right| $
$$|A|=\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{array}\right|=a_{11}\tilde{A}_{11}+a_{12}\tilde{A}_{12}+a_{13}\tilde{A}_{13}+a_{14}\tilde{A}_{14}$$
$$\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{array}\right|$$