$$c_1\begin{bmatrix}1\\-2\\3\\1\end{bmatrix} +c_2\begin{bmatrix}3\\-5\\4\\2\end{bmatrix} +c_3\begin{bmatrix}-1\\1\\2\\1\end{bmatrix} =\bf{0}$$

$$\begin{cases} c_1+3c_2-c_3=0\\ -2c_1-5c_2+c_3=0\\ 3c_1+4c_2+2c_3=0\\ c_1+2c_2+c_3=0\\ \end{cases}$$

$$\begin{bmatrix} 1& 3&-1\\ -2&-5& 1\\ 3& 4& 2\\ 1& 2& 1\\ \end{bmatrix}\\ \to\begin{bmatrix} 1& 3&-1\\ 0& 1&-1\\ 0&-5& 5\\ 0&-1&-2\\ \end{bmatrix}\\ \to\begin{bmatrix} 1& 3&-1\\ 0& 1&-1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0&-3\\ \end{bmatrix}\\ \to\begin{bmatrix} 1&3&-1\\ -2&-5&1\\ 3&4&2\\ 1&2&1\\ \end{bmatrix}\\$$

$$\begin{vmatrix} -2&1&4&5\\ -1&0&1&2\\ 1&1&1&-3\\ -3&-1&1&2\\ \end{vmatrix}$$