$$ (C)'=\lim_{h\to 0}\frac{C-C}{h}=0$$

$$ (ax+b)'=\lim_{h\to 0}\frac{a(x+h)+b-(ax+b)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{ah}{h}=\lim_{h\to 0}a=a$$

$$ (x^n)'=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}$$

$n\ge2$のとき、二項定理より $$(x+h)^n=x^n+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2+\cdots+{}_nC_k x^{n-k}h^k+\cdots+h^n$$であるから $$(x+h)^n-x^n=nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n$$ $$\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1}$$ $$\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=nx^{n-1}$$ したがって、 $$ (x^n)'=nx^{n-1}$$

$m=1,2,3,\cdots$のとき、 $$ (x^{-m})'=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\left(\frac{1}{(x+h)^m}-\frac{1}{x^m}\right)$$ $$\frac{1}{(x+h)^m}-\frac{1}{x^m}=-\frac{(x+h)^m-x^m}{(x+h)^mx^m}=-\frac{mx^{m-1}h+\frac{m(m-1)}{2}x^{m-2}h^2+\cdots+h^{m}}{(x+h)^mx^m}$$であるから $$\frac{1}{h}\left(\frac{1}{(x+h)^m}-\frac{1}{x^m}\right)=-\frac{mx^{m-1}+\frac{m(m-1)}{2}x^{m-2}h+\cdots+h^{m-1}}{(x+h)^mx^m}$$ $$\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\left(\frac{1}{(x+h)^m}-\frac{1}{x^m}\right)=-\frac{mx^{m-1}}{x^{2m}}$$ したがって、 $$ (x^{-m})'=-mx^{-m-1}$$ $n=-m$とおくと、 $$ (x^{n})'=nx^{n-1}$$

$n=1,2,3,\cdots$のとき、 $$ (x^{\frac{1}{n}})'=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}}{h}$$ がどうなるかを考えよう。 一般に $$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots+a^{n-k-1}b^{k}+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$$であるから $a=(x+h)^{\frac{1}{n}}$, $b=x^{\frac{1}{n}}$とおくと、 $$(x+h)-x=\left((x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}\right)\left((x+h)^{\frac{n-1}{n}}+(x+h)^{\frac{n-2}{n}}x^{\frac{1}{n}}+\cdots+(x+h)^{\frac{1}{n}}x^{\frac{n-2}{n}}+x^{\frac{n-1}{n}}\right)$$ $$\frac{h}{(x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}}=(x+h)^{\frac{n-1}{n}}+(x+h)^{\frac{n-2}{n}}x^{\frac{1}{n}}+\cdots+(x+h)^{\frac{1}{n}}x^{\frac{n-2}{n}}+x^{\frac{n-1}{n}}$$ $$\lim_{h\to 0}\frac{h}{(x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}}=nx^{\frac{n-1}{n}}=nx^{1-\frac{1}{n}}$$ したがって、 $$\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}}{h}=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$$ すなわち、 $$ (x^{\frac{1}{n}})'=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$$

$n=1,2,3,\cdots$, $m=\pm1,\pm2,\cdots$について $$y(x)=x^{\frac{m}{n}}$$ を考えよう。 $z=x^{\frac{1}{n}}$とおくと、$y=z^m$であり、ここまでのことから $$ \begin{align} \displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}&=mz^{m-1}\\ \displaystyle\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}&=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1} \end{align} $$ 合成関数の微分より、 $$ \begin{align} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}\\ &=mz^{m-1}\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}=mx^{\frac{m-1}{n}}\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}\\ &=\frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1} \end{align} $$ したがって、$\displaystyle\frac{m}{n}=\alpha$とおくと、 $$ (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1} $$

$y(x)=x^{\frac{m}{n}}$より$y^n=x^m$。この両辺を$x$で微分すると、

$$ \begin{align} y^n&=x^m\\ ny^{n-1}\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=mx^{m-1}\\ \displaystyle\frac{y^{n}}{y}\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{m}{n}x^{m}x^{-1}\\ \displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{m}{n}yx^{-1}\\ \displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{m}{n} x^{\frac{m}{n}-1} \end{align} $$ したがって、 $$ (x^{\frac{m}{n}})'=\frac{m}{n} x^{\frac{m}{n}-1} $$ ===== 実数冪 ===== 一般に$\alpha$が実数のとき、 $y=x^\alpha$とする。両辺を対数を取って微分すると、 $$ \begin{align} y &=x\alpha\\ \ln y&=\alpha\ln x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln y&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\alpha\ln x)\\ \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\ln y\right)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\alpha\frac{1}{x}\\ \frac{1}{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\alpha\frac{1}{x}\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\alpha\frac{y}{x}=\alpha\frac{x^\alpha}{x}&=\alpha x^{\alpha-1} \end{align} $$ したがって、 $$(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$$