大きさ無限大のポテンシャルの障壁で長さ$L$の領域に閉じ込められた電子の一次元の運動に対する波動関数は、講義で説明したように $$ \varphi_m(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{m\pi}{L}x $$ であらわされる。ただし、$m$は量子数で、$m=1,2,3,\cdots$.

まず、正規化されていることを調べよう。 \begin{align} \langle\varphi_m|\varphi_m\rangle&=\int_{0}^{L}\left(\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{m\pi}{L}x\right)^2dx\\ &=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}\sin^2 \frac{m\pi}{L}x dx\\ &=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}\frac{1}{2}\left(1-\sin \frac{2m\pi}{L}x\right) dx\\ &=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}\left(1-\sin \frac{2m\pi}{L}x\right) dx \end{align} ただし、ここで三角関数の公式

をもちいた。計算をすすめると