演算子$A$で表される物理量の期待値は、 $$\left\langle A\right\rangle=\left\langle\psi |A|\psi\right\rangle ,$$ で表される。

物理量の期待値の時間変化はこの波動関数の時間変化に依る。 この物理量の期待値を時間で微分すると、 $$\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left\langle A\right\rangle=\frac{\partial}{{\partial}t}\left\langle\psi |A|\psi\right\rangle=\left\langle\frac{\partial\psi}{{\partial}t} \right|A\left|\psi\right\rangle+\left\langle\psi \right|A\left|\frac{\partial\psi}{{\partial}t}\right\rangle .$$ ただし$A$はあらわには時間に依存しないと仮定した。

ここで$\psi$は時間に依存する波動関数で、シュレディンガー方程式 $$-\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial t}={\cal H}\psi ,$$ を満たすので、 $$\left|\frac{\partial\psi}{{\partial}t}\right\rangle=-\frac{i}{\hbar}|{\cal H}\psi\rangle .$$ この複素共役をとると、 $$\left\langle\frac{\partial\psi}{{\partial}t} \right|=\frac{i}{\hbar}\langle{\cal H}\psi|.$$ したがって、 $$\frac{\partial}{{\partial}t}\left\langle\psi |A|\psi\right\rangle=\frac{i}{\hbar}\langle{\cal H}\psi|A|\psi\rangle-\frac{i}{\hbar}\langle\psi |A|{\cal H}\psi\rangle .$$