正方行列 $$ A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{bmatrix} $$ に対して、 $$XA=I $$ を満たすような正方行列$X$が存在するとき、$X$を$A$の逆行列とよび、$$X=A^{-1}$$と書く。

• ある行を何倍かする（0倍以外）
• ある行の何倍かを他の行に加える
• ある行と別の行を交換する

→ 基本行列を左から掛ける

• ある列を何倍かする（0倍以外）
• ある列の何倍かを他の列に加える
• ある列と別の列を交換する

→ 基本行列を右から掛ける

• 適当な行基本変形により単位行列に変形できる。$\Leftrightarrow\mathrm{rank}A=n$

$$ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} 1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1 \end{bmatrix} $$

• 用いた行基本変形に対応する基本行列を$R_1$, $R_2$, $\cdots$, $R_M$とすると

$$ R_M R_{M-1}\cdots R_2 R_1 A = I\Rightarrow A^{-1}= R_M R_{M-1}\cdots R_2 R_1 $$

• 適当な行基本変形により単位行列に変形できない。$\Leftrightarrow\mathrm{rank}A<n$

$$ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} 1&\ast&\cdots&\ast\\ 0&1&\cdots&\ast\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&0 \end{bmatrix} $$

• 逆行列は存在しない（のではないだろうか）