$$c_1\begin{bmatrix}1\\-2\\3\\1\end{bmatrix} +c_2\begin{bmatrix}3\\-5\\4\\2\end{bmatrix} +c_3\begin{bmatrix}-1\\1\\2\\1\end{bmatrix} =\bf{0}$$

$$ \begin{bmatrix}c_1+3c_2-c_3\\ -2c_1-5c_2+c_3\\ 3c_1+4c_2+2c_3\\ c_1+2c_2+c_3\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix} $$

$$\begin{bmatrix} 1& 3&-1\\ -2&-5& 1\\ 3& 4& 2\\ 1& 2& 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1\\ c_2\\ c_3\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix} $$ $$\begin{cases} c_1+3c_2-c_3=0\\ -2c_1-5c_2+c_3=0\\ 3c_1+4c_2+2c_3=0\\ c_1+2c_2+c_3=0\\ \end{cases}$$

$$\begin{bmatrix} 1& 3&-1\\ -2&-5& 1\\ 3& 4& 2\\ 1& 2& 1\\ \end{bmatrix}\\ \to\begin{bmatrix} 1& 3&-1\\ 0& 1&-1\\ 0&-5& 5\\ 0&-1&-2\\ \end{bmatrix}\\ \to\begin{bmatrix} 1& 3&-1\\ 0& 1&-1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0&-3\\ \end{bmatrix}\\ \to\begin{bmatrix} 1& 3&-1\\ 0& 1&-1\\ 0& 0&-3\\ 0& 0& 0\\ \end{bmatrix}\\$$

$${\rm rank}\begin{bmatrix} 1& 3&-1\\ -2&-5& 1\\ 3& 4& 2\\ 1& 2& 1\\ \end{bmatrix}=3\\$$

$$\begin{vmatrix} -2& 1& 4& 5\\ -1& 0& 1& 2\\ 1& 1& 1&-3\\ -3&-1& 1& 2\\ \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} 0& 3& 6&-1\\ 0& 1& 2&-1\\ 1& 1& 1&-3\\ 0& 2& 4&-7\\ \end{vmatrix}\\ =\begin{vmatrix} 0& 0& 0& 2\\ 0& 1& 2&-1\\ 1& 1& 1&-3\\ 0& 0& 0&-5\\ \end{vmatrix}\\ =2\begin{vmatrix} 0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 2&-1\\ 1& 1& 1&-3\\ 0& 0& 0& 0\\ \end{vmatrix}=0 $$