一般に$\alpha$が実数のとき、 $y=x^\alpha$ とする。両辺を対数を取って微分すると、 したがって、 $$(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$$ \begin{align} y &=x\alpha\\ \ln y&=\alpha\ln x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln y&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\alpha\ln x)\\ \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\ln y\right)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\alpha\frac{1}{x}\\ \frac{1}{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\alpha\frac{1}{x}\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\alpha\frac{y}{x}=\alpha\frac{x^\alpha}{x}=\alpha x^{\alpha-1} \end{align}