$n=1,2,3,\cdots$のとき、 $$ (x^{\frac{1}{n}})'=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}}{h}$$ がどうなるかを考えよう。 一般に $$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots+a^{n-k-1}b^{k}+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$$であるから $a=(x+h)^{\frac{1}{n}}$, $b=x^{\frac{1}{n}}$とおくと、 $$(x+h)-x=\left((x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}\right)\left((x+h)^{\frac{n-1}{n}}+(x+h)^{\frac{n-2}{n}}x^{\frac{1}{n}}+\cdots+(x+h)^{\frac{1}{n}}x^{\frac{n-2}{n}}+x^{\frac{n-1}{n}}\right)$$ $$\frac{h}{(x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}}=(x+h)^{\frac{n-1}{n}}+(x+h)^{\frac{n-2}{n}}x^{\frac{1}{n}}+\cdots+(x+h)^{\frac{1}{n}}x^{\frac{n-2}{n}}+x^{\frac{n-1}{n}}$$ $$\lim_{h\to 0}\frac{h}{(x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}}=nx^{\frac{n-1}{n}}=nx^{1-\frac{1}{n}}$$ したがって、 $$\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}}{h}=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$$ すなわち、 $$ (x^{\frac{1}{n}})'=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$$

$n=1,2,3,\cdots$, $m=\pm1,\pm2,\cdots$について $$y(x)=x^{\frac{m}{n}}$$ を考えよう。 $z=x^{\frac{1}{n}}$とおくと、$y=z^m$であり、ここまでのことから $$ \begin{align} \displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}&=mz^{m-1}\\ \displaystyle\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}&=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1} \end{align} $$ 合成関数の微分より、 $$ \begin{align} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}\\ &=mz^{m-1}\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}=mx^{\frac{m-1}{n}}\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}\\ &=\frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1} \end{align} $$ したがって、$\displaystyle\frac{m}{n}=\alpha$とおくと、 $$ (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1} $$

$y(x)=x^{\frac{m}{n}}$より$y^n=x^m$。この両辺を$x$で微分すると、

$$ \begin{align} y^n&=x^m\\ ny^{n-1}\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=mx^{m-1}\\ \displaystyle\frac{y^{n}}{y}\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{m}{n}x^{m}x^{-1}\\ \displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{m}{n}yx^{-1}\\ \displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{m}{n} x^{\frac{m}{n}-1} \end{align} $$ したがって、 $$ (x^{\frac{m}{n}})'=\frac{m}{n} x^{\frac{m}{n}-1} $$