$$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{iux}du$$ とすると$F(u)$は $$F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-iut}dt$$ これに $$f(x) = e^{-a|x|}$$ を代入すると $$F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a|t|}e^{-iut}dt$$ ただし$a>0$とする。

$$F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{0}e^{at}e^{-iut}dt + \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-at}e^{-iut}dt$$

$$F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{0}e^{(a-iu)t}dt + \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-(a+iu)t}dt$$

$$F(u)=\frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{a-iu}e^{(a-iu)t}\right]_{-\infty}^{0} + \frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{-(a+iu)}e^{-(a+iu)t}\right]_{0}^{\infty}$$

$$F(u)=\frac{1}{2\pi}\frac{1}{a-iu}(1-0) + \frac{1}{2\pi}\frac{1}{-(a+iu)}(0-1)$$

$$F(u)=\frac{1}{2\pi}\left(\frac{1}{a-iu} + \frac{1}{a+iu}\right)$$

$$F(u)=\frac{1}{2\pi}\frac{2a}{a^2+u^2}$$

$$F(u)=\frac{1}{\pi}\frac{a}{u^2+a^2}$$

したがって $$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{iux}du$$ を具体的に書き下すと $$e^{-ax^2} =\frac{1}{\sqrt{4a\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{u^2}{4a}}e^{iux}du$$