$$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{iux}du$$ とすると$F(u)$は $$F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-iut}dt$$ これに $$f(x) = e^{-a|x|}$$ を代入すると $$F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a|t|}e^{-iut}dt$$ ただし$a>0$とする。

$$F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{0}e^{at}e^{-iut}dt + \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-at}e^{-iut}dt$$

$$F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{0}e^{(a-iu)t}dt + \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-(a+iu)t}dt$$

$$F(u)=\frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{a-iu}e^{(a-iu)t}\right]_{-\infty}^{0} + \frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{-(a+iu)}e^{-(a+iu)t}\right]_{0}^{\infty}$$

$$F(u)=\frac{1}{2\pi}(1-0)\frac{1}{a-iu}(1-0) + \frac{1}{2\pi}\frac{1}{-(a+iu)}(0-1)$$

左辺は零になるので $$\int_{-\infty}^{\infty}te^{-at^2}\sin(ut)dt=\frac{u}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\cos(ut)dt$$

したがって $$\frac{d}{du}F(u)=-\frac{1}{2\pi}\frac{u}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\cos(ut)dt = -\frac{u}{2a}F(u)$$

これはF(u)に関する常微分方程式であるので、これを解くと $$\frac{1}{F(u)}\frac{d}{du}F(u)=-\frac{1}{2a}u$$ $$\int\frac{1}{F(u)}\frac{d}{du}F(u)du=-\frac{1}{2a}\int udu$$ $$\int\frac{1}{F(u)}d(F(u))=-\frac{1}{2a}\frac{u^2}{2}+C$$ ここで$C$は積分常数である。 $$\ln|F(u)|=-\frac{u^2}{4a}+C$$ $$F(u)=Ce^{-\frac{u^2}{4a}}$$ ただし、積分常数は出るたびに記号$C$にまとめなおしている。この$C$は$u=0$と置くことにより $$F(0)=C$$ したがって$F(u)$は $$F(u)=F(0)e^{-\frac{u^2}{4a}}$$

一方$F(0)$は $$F(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}dt$$ であるから $$I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}dt$$ とおくと $$F(0)=\frac{1}{2\pi}I$$

積分変数はなんでもいいので $$I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx$$ $$I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ay^2}dy$$ これより $$I^2=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ay^2}dy$$ これは$x,y$の逐次積分とも、二重積分ともとることができるので $$I^2=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x^2+y^2)}dxdy$$

$(x,y)$を二次元空間の直交座標とみなしてこれを極座標に変換すると

$$I^2=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x^2+y^2)}dxdy=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdrd\theta$$ これは計算できて、 $$I^2=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdrd\theta =2\pi\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdr=\frac{\pi}{a}\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}(2ar)dr$$

$$\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}(2ar)dr=\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}\frac{d(ar^2)}{dr}dr=\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}d(ar^2)=[-e^{-ar^2}]_0^{\infty}=-(0-1)=1$$

よって $$I^2=\frac{\pi}{a}$$ $$I=\sqrt{\frac{\pi}{a}}$$ $$F(0)=\frac{1}{2\pi}I=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\pi}{a}}=\frac{1}{\sqrt{4a\pi}}$$

まとめると $$F(u)=\frac{1}{\sqrt{4a\pi}}e^{-\frac{u^2}{4a}}$$

したがって $$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{iux}du$$ を具体的に書き下すと $$e^{-ax^2} =\frac{1}{\sqrt{4a\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{u^2}{4a}}e^{iux}du$$