$$ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{iux}du $$ とすると$F(u)$は $$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-iut}dt $$ これに $$ f(x) = e^{-a|x|} $$ を代入すると $$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a|t|}e^{-iut}dt $$ ただし$a>0$とする。

$$F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{0}e^{at}e^{-iut}dt + \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-at}e^{-iut}dt$$

$$F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{0}e^{(a-iu)t}dt + \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-(a+iu)t}dt$$

$$F(u)=\frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{a-iu}e^{(a-iu)t}\right]_{-\infty}^{0} + \frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{-(a+iu)}e^{-(a+iu)t}\right]_{0}^{\infty}$$

$$F(u)=\frac{1}{2\pi}\frac{1}{a-iu}(1-0) + \frac{1}{2\pi}\frac{1}{-(a+iu)}(0-1)$$

$$F(u)=\frac{1}{2\pi}\left(\frac{1}{a-iu} + \frac{1}{a+iu}\right)$$

$$F(u)=\frac{1}{2\pi}\frac{2a}{a^2+u^2}$$

$$F(u)=\frac{1}{\pi}\frac{a}{u^2+a^2}$$

したがって $$ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{iux}du $$ を具体的に書き下すと $$ e^{-a|x|} =\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{a}{u^2+a^2}e^{iux}du $$