$$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{iux}du$$ とすると$F(u)$は $$F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-iut}dt$$ これに$-a<x<a$では $$f(x) = b$$ $x< -a$もしくは$a<x$では $$f(x) = 0$$ を代入すると $$F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-a}^{a}be^{-iut}dt$$

$$F(u)=\frac{b}{2\pi}\left[\frac{1}{-iu}e^{-iut}\right]_{-a}^{a}$$

$$F(u)=\frac{b}{2\pi}\frac{1}{-iu}\left(e^{-iua}-e^{iua}\right)$$

$$F(u)=\frac{b}{\pi}\frac{1}{u}\frac{e^{iua}-e^{-iua}}{2i}$$

$$F(u)=\frac{b}{\pi}\frac{\sin(au)}{u}$$

したがって $$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{iux}du$$ を具体的に書き下すと $$e^{-a|x|} =\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{a}{u^2+a^2}e^{iux}du$$ $-a<x<a$では $$b =\frac{b}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(au)}{u}e^{iux}du$$ $x< -a$もしくは$a<x$では $$0 =\frac{b}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(au)}{u}e^{iux}du$$