$$ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{iux}du $$ とすると$F(u)$は $$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-iut}dt $$ これに $$ f(x) = e^{-ax^2} $$ を代入すると $$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}e^{-iut}dt $$ ただし$a>0$とする。

この両辺を$u$で微分すると、 $$ \frac{d}{du}F(u)=\frac{\partial}{\partial u}\left\{\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}e^{-iut} dt\right\}=-\frac{i}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}te^{-at^2}e^{-iut} dt$$

ここで$e^{-at^2}e^{-iut}$を$t$で微分してみると $$ \frac{d}{dt}\left[e^{-at^2}e^{-iut}\right]=-2ate^{-at^2}e^{-iut}-iue^{-at^2}e^{-iut}$$ この両辺を$[-\infty, \infty]$で定積分すると、 $$ \left[e^{-at^2}e^{-iut}\right]_{-\infty}^{\infty}=-2a\int_{-\infty}^{\infty}te^{-at^2}e^{-iut}dt-iu\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}e^{-iut}dt$$

左辺は零になるので $$ \int_{-\infty}^{\infty}te^{-at^2}e^{-iut}dt=-\frac{iu}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}e^{-iut}dt$$

したがって $$ \frac{d}{du}F(u)=-\frac{i}{2\pi}\left(-\frac{iu}{2a}\right)\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}e^{-iut}dt = -\frac{u}{2a}F(u)$$

これは$F(u)$に関する常微分方程式であるので、これを解くと $$\frac{1}{F(u)}\frac{d}{du}F(u)=-\frac{1}{2a}u$$ $$\int\frac{1}{F(u)}\frac{d}{du}F(u)du=-\frac{1}{2a}\int udu$$ $$\int\frac{1}{F(u)}d(F(u))=-\frac{1}{2a}\frac{u^2}{2}+C$$ ここで$C$は積分常数である。 $$\ln|F(u)|=-\frac{u^2}{4a}+C$$ $$F(u)=Ce^{-\frac{u^2}{4a}}$$ ただし、積分常数は出るたびに記号$C$にまとめなおしている。この$C$は$u=0$と置くことにより $$F(0)=C$$ したがって$F(u)$は $$F(u)=F(0)e^{-\frac{u^2}{4a}}$$

一方$F(0)$は $$ F(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}dt $$ であるから $$ I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}dt $$ とおくと $$ F(0)=\frac{1}{2\pi}I $$

積分変数はなんでもいいので $$ I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx $$ $$ I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ay^2}dy $$ これより $$ I^2=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ay^2}dy $$ これは$x,y$の逐次積分とも、二重積分ともとることができるので $$ I^2=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x^2+y^2)}dxdy $$

$(x,y)$を二次元空間の直交座標とみなしてこれを極座標に変換すると

$$ I^2=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x^2+y^2)}dxdy=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdrd\theta $$ これは計算できて、 $$ I^2=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdrd\theta =2\pi\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdr=\frac{\pi}{a}\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}(2ar)dr $$

$$ \int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}(2ar)dr=\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}\frac{d(ar^2)}{dr}dr=\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}d(ar^2)=[-e^{-ar^2}]_0^{\infty}=-(0-1)=1 $$

よって $$ I^2=\frac{\pi}{a} $$ $$ I=\sqrt{\frac{\pi}{a}} $$ $$ F(0)=\frac{1}{2\pi}I=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\pi}{a}}=\frac{1}{\sqrt{4a\pi}} $$

まとめると $$F(u)=\frac{1}{\sqrt{4a\pi}}e^{-\frac{u^2}{4a}}$$

したがって $$ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{iux}du $$ を具体的に書き下すと $$ e^{-ax^2} =\frac{1}{\sqrt{4a\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{u^2}{4a}}e^{iux}du $$

$e^{iz}=\cos z +i\sin z$を用いると $$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\cos(ut) dt +i\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\sin(ut)dt$$

第二項の被積分関数$e^{-at^2}\sin(ut)$は奇関数であるから第二項の積分は零になる。したがって $$ F(u)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\cos(ut) dt$$