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ガウス関数のフーリエ変換
f(x)=∫∞−∞F(u)eiuxdu とするとF(u)は F(u)=12π∫∞−∞f(t)e−iutdt これに f(x)=e−ax2 を代入すると F(u)=12π∫∞−∞e−at2e−iutdt ただしa>0とする。
eiz=cosz+isinzを用いると F(u)=12π∫∞−∞e−at2cos(ut)dt+i12π∫∞−∞e−at2sin(ut)dt
第二項の被積分関数e−at2sin(ut)は奇関数であるから第二項の積分は零になる。したがって F(u)=12π∫∞−∞e−at2cos(ut)dt
この両辺をuで微分すると、 dduF(u)=∂∂u{12π∫∞−∞e−at2cos(ut)dt}=−12π∫∞−∞te−at2sin(ut)dt
ここでe−at2sin(ut)をtで微分してみると ddt[e−at2sin(ut)]=−2ate−at2sin(ut)+ue−at2cos(ut) この両辺を[−∞,∞]で定積分すると、 [e−at2sin(ut)]∞−∞=−2a∫∞−∞te−at2sin(ut)dt+u∫∞−∞e−at2cos(ut)dt
左辺は零になるので ∫∞−∞te−at2sin(ut)dt=u2a∫∞−∞e−at2cos(ut)dt
したがって dduF(u)=−12πu2a∫∞−∞e−at2cos(ut)dt=−u2aF(u)
これはF(u)に関する常微分方程式であるので、これを解くと 1F(u)dduF(u)=−12au ∫1F(u)dduF(u)du=−12a∫udu ∫1F(u)d(F(u))=−12au22+C ここでCは積分常数である。 ln|F(u)|=−u24a+C F(u)=Ce−u24a ただし、積分常数は出るたびに記号Cにまとめなおしている。このCはu=0と置くことにより F(0)=C したがってF(u)は F(u)=F(0)e−u24a
一方F(0)は F(0)=12π∫∞−∞e−at2dt であるから I=∫∞−∞e−at2dt とおくと F(0)=12πI
積分変数はなんでもいいので I=∫∞−∞e−ax2dx I=∫∞−∞e−ay2dy これより I2=∫∞−∞e−ax2dx∫∞−∞e−ay2dy これはx,yの逐次積分とも、二重積分ともとることができるので I2=∫∞−∞∫∞−∞e−a(x2+y2)dxdy
(x,y)を二次元空間の直交座標とみなしてこれを極座標に変換すると
I2=∫∞−∞∫∞−∞e−a(x2+y2)dxdy=∫2π0∫∞0e−ar2rdrdθ これは計算できて、 I2=∫2π0∫∞0e−ar2rdrdθ=2π∫∞0e−ar2rdr=πa∫∞0e−ar2(2ar)dr
∫∞0e−ar2(2ar)dr=∫∞0e−ar2d(ar2)drdr=∫∞0e−ar2d(ar2)=[−e−ar2]∞0=−(0−1)=1
よって I2=πa I=√πa F(0)=12πI=12π√πa=1√4aπ