lectures:逆行列
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行 1: | 行 1: | ||
====== 逆行列 ====== | ====== 逆行列 ====== | ||
===== 定義 ===== | ===== 定義 ===== | ||
- | 正方行列$A$に対して、 | + | 正方行列 |
- | $$XA=I | + | |
- | $$ | + | |
- | を満たすような正方行列$X$が存在するとき、$X$を$A$の逆行列とよび、$$X=A^{-1}$$と書く。 | + | |
- | + | ||
$$ | $$ | ||
A=\begin{bmatrix} | A=\begin{bmatrix} | ||
行 15: | 行 10: | ||
\end{bmatrix} | \end{bmatrix} | ||
$$ | $$ | ||
+ | に対して、 | ||
+ | $$XA=I | ||
+ | $$ | ||
+ | を満たすような正方行列$X$が存在するとき、$X$を$A$の逆行列とよび、$$X=A^{-1}$$と書く。 | ||
- | ===== 行列の行基本変形 ===== | + | ===== 行列の基本変形 ===== |
+ | ==== 行基本変形 | ||
* ある行を何倍かする(0倍以外) | * ある行を何倍かする(0倍以外) | ||
* ある行の何倍かを他の行に加える | * ある行の何倍かを他の行に加える | ||
* ある行と別の行を交換する | * ある行と別の行を交換する | ||
- | → 基本行列を左から掛け算する | + | → 基本行列を左から掛ける |
+ | ==== 列基本変形 ==== | ||
+ | * ある列を何倍かする(0倍以外) | ||
+ | * ある列の何倍かを他の列に加える | ||
+ | * ある列と別の列を交換する | ||
+ | → 基本行列を右から掛ける | ||
+ | ===== 逆行列の存在 ===== | ||
==== CASE A ==== | ==== CASE A ==== | ||
- | * $\mathrm{rank}A=n$のとき、適当な行基本変形により単位行列に変形できる。$\Leftrightarrow$行列$R_1$, | + | * 適当な行基本変形により単位行列に変形できる。$\Leftrightarrow\mathrm{rank}A=n$ |
$$ | $$ | ||
\begin{bmatrix} | \begin{bmatrix} | ||
行 38: | 行 45: | ||
\end{bmatrix} | \end{bmatrix} | ||
$$ | $$ | ||
- | * $\mathrm{rank}A=n$のとき、適当な基本行列$R_1$, | + | * 用いた行基本変形に対応する基本行列を$R_1$, $R_2$, $\cdots$, $R_M$とすると |
- | * ただ1組の解をもつ | + | $$ |
+ | R_M R_{M-1}\cdots R_2 R_1 A = I\Rightarrow A^{-1}= R_M R_{M-1}\cdots R_2 R_1 | ||
+ | $$ | ||
- | ==== CASE A ==== | + | ==== CASE B ==== |
+ | * 適当な行基本変形により単位行列に変形できない。$\Leftrightarrow\mathrm{rank}A< | ||
$$ | $$ | ||
\begin{bmatrix} | \begin{bmatrix} | ||
- | a_{11}& | + | a_{11}& |
- | a_{21}& | + | a_{21}& |
- | \vdots& | + | \vdots& |
- | a_{n1}& | + | a_{n1}& |
\end{bmatrix} | \end{bmatrix} | ||
\Rightarrow | \Rightarrow | ||
\begin{bmatrix} | \begin{bmatrix} | ||
- | 1& | + | 1& |
- | 0& | + | 0& |
- | \vdots& | + | \vdots& |
- | 0& | + | 0& |
\end{bmatrix} | \end{bmatrix} | ||
$$ | $$ | ||
- | * 解は無数に存在する(解にはパラメータが含まれる) | ||
+ | * 逆行列は存在しない(のではないだろうか) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ===== 逆行列の性質 ===== | ||
+ | ==== 定理1 ==== | ||
lectures/逆行列.1683868081.txt.gz · 最終更新: 2023/05/12 14:08 by kimi