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lectures:gamma_function

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 $$
-=\int_{0}^{\infty} nx^{n-1} e^{-x}dx-\int_{0}^{\infty} x^n e^{-x}dx
+=n\int_{0}^{\infty} x^{n-1} e^{-x}dx-\int_{0}^{\infty} x^n e^{-x}dx
 $$
 $$
-\int_{0}^{\infty} x^n e^{-x}dx=\int_{0}^{\infty} nx^{n-1} e^{-x}dx
+\begin{align}
+ \int_{0}^{\infty} x^n e^{-x}dx&=n\int_{0}^{\infty} x^{n-1} e^{-x}dx\\
+&=n(n-1)\int_{0}^{\infty} x^{n-2} e^{-x}dx\\
+&\vdots\\
+&=n(n-1)\cdots 3\cdot 2\int_{0}^{\infty} x e^{-x}dx\\
+&=n(n-1)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\int_{0}^{\infty} e^{-x}dx\\
+&=n!\int_{0}^{\infty} e^{-x}dx\\
+\end{align}
 $$
+$$
+\int_{0}^{\infty} e^{-x}dx=1
+$$
+$$\int_{0}^{\infty} x^n e^{-x}dx=n!$$
-$$\displaystyle\int_{0}^{\infty}=n!$$
+$$\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty} x^{z-1} e^{-x}dx$$

lectures/gamma_function.1613528590.txt.gz · 最終更新: 2022/08/23 13:34 (外部編集)