amath2:楔型_三角波
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|---|---|---|---|
| 行 26: | 行 26: | ||
| $$\cos z=1-2\sin^2\frac{z}{2}$$ | $$\cos z=1-2\sin^2\frac{z}{2}$$ | ||
| をもちいると、 | をもちいると、 | ||
| - | $$ F(u)=\frac{2b}{\pi}\frac{\sin^2(\frac{au}{2})}{au^2}$$ | + | $$ F(u)=\frac{2b}{\pi}\frac{\sin^2(\frac{au}{2})}{au^2}=\frac{ab}{2\pi}\frac{\sin^2(\frac{au}{2})}{(\frac{au}{2})^2}$$ |
| - | $$\int\frac{1}{F(u)}\frac{d}{du}F(u)du=-\frac{1}{2a}\int udu$$ | ||
| - | $$\int\frac{1}{F(u)}d(F(u))=-\frac{1}{2a}\frac{u^2}{2}+C$$ | ||
| - | ここで$C$は積分常数である。 | ||
| - | $$\ln|F(u)|=-\frac{u^2}{4a}+C$$ | ||
| - | $$F(u)=Ce^{-\frac{u^2}{4a}}$$ | ||
| - | ただし、積分常数は出るたびに記号$C$にまとめなおしている。この$C$は$u=0$と置くことにより | ||
| - | $$F(0)=C$$ | ||
| - | したがって$F(u)$は | ||
| - | $$F(u)=F(0)e^{-\frac{u^2}{4a}}$$ | ||
| - | |||
| - | 一方$F(0)$は | ||
| - | $$ F(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}dt $$ | ||
| - | であるから | ||
| - | $$ I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}dt $$ | ||
| - | とおくと | ||
| - | $$ F(0)=\frac{1}{2\pi}I $$ | ||
| - | |||
| - | 積分変数はなんでもいいので | ||
| - | $$ I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx $$ | ||
| - | $$ I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ay^2}dy $$ | ||
| - | これより | ||
| - | $$ I^2=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ay^2}dy $$ | ||
| - | これは$x, | ||
| - | $$ I^2=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x^2+y^2)}dxdy $$ | ||
| - | |||
| - | $(x, | ||
| - | |||
| - | $$ I^2=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x^2+y^2)}dxdy=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdrd\theta $$ | ||
| - | これは計算できて、 | ||
| - | $$ I^2=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdrd\theta =2\pi\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdr=\frac{\pi}{a}\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}(2ar)dr $$ | ||
| - | |||
| - | $$ \int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}(2ar)dr=\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}\frac{d(ar^2)}{dr}dr=\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}d(ar^2)=[-e^{-ar^2}]_0^{\infty}=-(0-1)=1 $$ | ||
| - | |||
| - | よって | ||
| - | $$ I^2=\frac{\pi}{a} $$ | ||
| - | $$ I=\sqrt{\frac{\pi}{a}} $$ | ||
| - | $$ F(0)=\frac{1}{2\pi}I=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\pi}{a}}=\frac{1}{\sqrt{4a\pi}} $$ | ||
| - | |||
| - | まとめると | ||
| - | $$F(u)=\frac{1}{\sqrt{4a\pi}}e^{-\frac{u^2}{4a}}$$ | ||
| - | |||
| - | したがって | ||
| - | $$ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{iux}du $$ | ||
| - | を具体的に書き下すと | ||
| - | $$ e^{-ax^2} =\frac{1}{\sqrt{4a\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{u^2}{4a}}e^{iux}du $$ | ||
amath2/楔型_三角波.1595912834.txt.gz · 最終更新: 2022/08/23 13:34 (外部編集)