差分

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--- lectures:変数分離 [2020/08/24 13:39] – kimi
+++ lectures:変数分離 [2022/08/23 13:34] (現在) – 外部編集 127.0.0.1
@@ 行 4: / 行 4: @@
 $$
 \begin{align}
--\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\varphi(x,y,z)&\\+V(x,y,z)\varphi(x,y,z)&=E\varphi(x,y,z)
+-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\varphi(x,y,z)&+\\ V(x,y,z)\varphi(x,y,z)&=E\varphi(x,y,z)
 \end{align}$$
 である。ここで、ポテンシャルエネルギーが
@@ 行 20: / 行 20: @@
 $$
 \begin{align}
--\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\varphi_x(x)\varphi_y(y)\varphi_z(z)\\+\left(V_x(x)+V_y(y)+V_z(z)\right)\varphi_x(x)\varphi_y(y)\varphi_z(z)=E\varphi_x(x)\varphi_y(y)\varphi_z(z)
+-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\varphi_x(x)\varphi_y(y)\varphi_z(z)&+\\
-\end{align}$$
+\left(V_x(x)+V_y(y)+V_z(z)\right)\varphi_x(x)\varphi_y(y)\varphi_z(z)&=E\varphi_x(x)\varphi_y(y)\varphi_z(z)
+\end{align}
+$$
 となる。
-$$\begin{align}\end{align}
+偏微分は関係する変数を含む関数にのみ演算されるので
+$$\begin{align}
+-\frac{\hbar^2}{2m}\left(
+\frac{\partial^2\varphi_x(x)}{\partial x^2}\varphi_y(y)\varphi_z(z)+
+\varphi_x(x)\frac{\partial^2\varphi_y(y)}{\partial y^2}\varphi_z(z)+
+\varphi_x(x)\varphi_y(y)\frac{\partial^2\varphi_z(z)}{\partial z^2}
+\right)&+\\
+\left(V_x(x)+V_y(y)+V_z(z)\right)\varphi_x(x)\varphi_y(y)\varphi_z(z)&=E\varphi_x(x)\varphi_y(y)\varphi_z(z)
+\end{align}
+$$
+これを整理すると、
+$$\begin{align}
+&\left(
+-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varphi_x(x)}{\partial x^2}
++V_x(x)\varphi_x(x)
+\right)\varphi_y(y)\varphi_z(z)\\
+&+\varphi_x(x)\left(
+-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varphi_y(y)}{\partial y^2}
++V_y(y)\varphi_y(y)
+\right)\varphi_z(z)\\
+&+\varphi_x(x)\varphi_y(y)\left(
+-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varphi_z(z)}{\partial z^2}
++V_z(z)\varphi_z(z)
+\right)
+=E\varphi_x(x)\varphi_y(y)\varphi_z(z)
+\end{align}
+$$
+両辺を$\varphi_x(x)\varphi_y(y)\varphi_z(z)$で割ると
+$$
+\begin{align}
+&\left(
+-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\varphi_x(x)}\frac{\partial^2\varphi_x(x)}{\partial x^2}
++V_x(x)
+\right)\\
+&+\left(
+-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\varphi_y(y)}\frac{\partial^2\varphi_y(y)}{\partial y^2}
++V_y(y)
+\right)\\
+&+\left(
+-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\varphi_z(z)}\frac{\partial^2\varphi_z(z)}{\partial z^2}
++V_z(z)
+\right)
+=E
+\end{align}
+$$
+この第一、第二、第三の各項はそれぞれ $x$,$y$, $z$ だけの関数であり、それらの和が定数にな
+るためにはそれぞれが定数でなければならない。そこでその定数をそれぞれ$E_x$, $E_y$, $E_z$と
+おく、すなわち
+$$
+\begin{align}
+-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\varphi_x(x)}\frac{\partial^2\varphi_x(x)}{\partial x^2}
++V_x(x)&=E_x\\
+-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\varphi_y(y)}\frac{\partial^2\varphi_y(y)}{\partial y^2}
++V_y(y)&=E_y\\
+-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\varphi_z(z)}\frac{\partial^2\varphi_z(z)}{\partial z^2}
++V_z(z)&=E_z\\
+\end{align}
+$$
+とおくと、$E=E_x+E_y+E_z$ となる。
+また、上式はそれぞれ
+$$
+\begin{align}
+-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varphi_x(x)}{\partial x^2}
++V_x(x)\varphi_x(x)&=E_x\varphi_x(x)\\
+-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varphi_y(y)}{\partial y^2}
++V_y(y)\varphi_y(y)&=E_y\varphi_y(y)\\
+-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\varphi_z(z)}{\partial z^2}
++V_z(z)\varphi_z(z)&=E_z\varphi_z(z)\\
+\end{align}
 $$
+と書き直すことができ、これらは座標ごとの一次元の時間に依存しないシュレディンガー方程式に
+なっている。