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lectures:gamma_function

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+++ lectures:gamma_function [2022/08/23 13:34] (現在) – 外部編集 127.0.0.1
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 ====== Gamma function ======
-$$\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^n e^{-x}dx=n!$$
+$$
+\frac{d}{dx}\left(x^n e^{-x}\right)=nx^{n-1} e^{-x}-x^n e^{-x}
+$$
+$$
+x^n e^{-x}=\int nx^{n-1} e^{-x}dx-\int x^n e^{-x}dx
+$$
+$$
+\left[x^n e^{-x}\right]_{0}^{\infty}=\int_{0}^{\infty} nx^{n-1} e^{-x}dx-\int_{0}^{\infty} x^n e^{-x}dx
+$$
+$$
+=n\int_{0}^{\infty} x^{n-1} e^{-x}dx-\int_{0}^{\infty} x^n e^{-x}dx
+$$
+$$
+\begin{align}
+ \int_{0}^{\infty} x^n e^{-x}dx&=n\int_{0}^{\infty} x^{n-1} e^{-x}dx\\
+&=n(n-1)\int_{0}^{\infty} x^{n-2} e^{-x}dx\\
+&\vdots\\
+&=n(n-1)\cdots 3\cdot 2\int_{0}^{\infty} x e^{-x}dx\\
+&=n(n-1)\cdots 3\cdot 2\cdot 1\int_{0}^{\infty} e^{-x}dx\\
+&=n!\int_{0}^{\infty} e^{-x}dx\\
+\end{align}
+$$
+$$
+\int_{0}^{\infty} e^{-x}dx=1
+$$
+$$\int_{0}^{\infty} x^n e^{-x}dx=n!$$
+$$\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty} x^{z-1} e^{-x}dx$$

lectures/gamma_function.1613528268.txt.gz · 最終更新: 2022/08/23 13:34 (外部編集)