lectures:微分方程式の解法
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| lectures:微分方程式の解法 [2020/08/25 09:15] – [一階線形非斉次常微分方程式] kimi | lectures:微分方程式の解法 [2022/08/23 13:34] (現在) – 外部編集 127.0.0.1 | ||
|---|---|---|---|
| 行 65: | 行 65: | ||
| $$ | $$ | ||
| - | $\pm e^{C_1-C_2}$を新たに定数$C$とおくことにより、 | + | $\pm e^{C_1-C_2}$を新たに定数$C_3$とおくことにより、 |
| $$ | $$ | ||
| - | g(x)=C e^{ax} | + | g(x)=C_3 e^{ax} |
| $$ | $$ | ||
| と$g(x)$を求めることができる | と$g(x)$を求めることができる | ||
| 行 105: | 行 105: | ||
| \end{align} | \end{align} | ||
| + | したがって | ||
| + | $$ | ||
| + | f(x)=e^{-ax}g(x)=Ce^{ax}+De^{-ax} | ||
| + | $$ | ||
| + | ここで$\frac{C_3}{2a}$をまとめて$C$とおいた。 | ||
| + | ===== まとめ ===== | ||
| + | 以上のことは$a$が一般の複素数の場合にも成り立つので$a=ik$とおくことにより、$b\ne 0$に対して | ||
| + | $$ | ||
| + | \frac{d^2}{dx^2}f(x)+k^2f(x)=0 | ||
| + | $$ | ||
| + | の解は | ||
| + | $$ | ||
| + | f(x)=Ce^{ikx}+De^{-ikx} | ||
| + | $$ | ||
| + | となることがわかる。 | ||
| + | まとめると、 | ||
| + | $$ | ||
| + | \frac{d^2}{dx^2}f(x)+Af(x)=0 | ||
| + | $$ | ||
| + | の形の微分方程式（ただし、$A\ne 0$）の解は、 | ||
| + | |||
| + | $A< | ||
| + | $$ | ||
| + | f(x)=Ce^{ax}+De^{-ax} | ||
| + | $$ | ||
| + | $A> | ||
| + | $$ | ||
| + | f(x)=Ce^{ikx}+De^{-ikx} | ||
| + | $$ | ||
| + | となる。 | ||
| + | この結果は今後、特に証明等を行わずによく用いる。 | ||
lectures/微分方程式の解法.1598314536.txt.gz · 最終更新: 2022/08/23 13:34 (外部編集)