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lectures:同時固有関数

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 $$AB=BA$$
 $$[A,B]=AB-BA=0$$
-関数$|a_i\rangle$を演算子$A$の固有値$a_i$に属する固有関数であるとすると、
+演算子$A$の固有値$a_i$に属する固有関数を$|a_i\rangle$とすると、
 $$A|a_i\rangle=a_i|a_i\rangle$$
+$$BA|a_i\rangle=a_iB|a_i\rangle$$
+$$AB|a_i\rangle=a_iB|a_i\rangle$$
+であるから、関数$B|a_i\rangle$も演算子$A$の固有値$a_i$に属する固有関数である
+===== 縮退がないとき =====
+関数$B|a_i\rangle$は関数$|a_i\rangle$のスカラー倍でなければならないので、
+$$B|a_i\rangle=c|a_i\rangle$$
+これは関数$|a_i\rangle$が演算子$B$の固有関数であることを意味する。
+===== 縮退があるとき =====
+$$A\sum_i c_i|i\rangle=a\sum_i c_i|i\rangle$$
+$$B|i\rangle=aB|i\rangle$$
+$$B|i\rangle=\sum_j c_{i,j}|j\rangle$$
+$$\langle k|B|i\rangle=\sum_j c_{i,j}\langle k|j\rangle = c_{i,k}$$
+$$\sum_k |k\rangle\langle k|=1$$
+$$B|i\rangle=\sum_j c_j\left(\sum_k |k\rangle\langle k|\right)|j\rangle$$
+$$B|i\rangle=\sum_k|k\rangle\sum_j c_j \langle k|j\rangle $$

lectures/同時固有関数.1576039097.txt.gz · 最終更新: 2022/08/23 13:34 (外部編集)