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lectures:三角関数の定積分

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--- lectures:三角関数の定積分 [2020/08/26 13:48] – 作成 kimi
+++ lectures:三角関数の定積分 [2022/08/23 13:34] (現在) – 外部編集 127.0.0.1
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 大きさ無限大のポテンシャルの障壁で長さ$L$の領域に閉じ込められた電子の一次元の運動に対する波動関数は、講義で説明したように
 $$
-\varphi_m(x)=\sqrt{\frac{2}{K}}\sin \frac{m\pi}{K}x
+\varphi_m(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{m\pi}{L}x
 $$
-であらわされる。
+であらわされる。ただし、$m$は量子数で、$m=1,2,3,\cdots$.
+===== 正規 =====
+まず、規格化されていることを調べよう。
+\begin{align}
+\langle\varphi_m|\varphi_m\rangle&=\int_{0}^{L}\left(\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{m\pi}{L}x\right)^2dx\\
+&=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}\sin^2 \frac{m\pi}{L}x dx\\
+&=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}\frac{1}{2}\left(1-\sin  \frac{2m\pi}{L}x\right) dx\\
+&=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}\left(1-\sin  \frac{2m\pi}{L}x\right) dx
+\end{align}
+ただし、ここで三角関数の公式
+$$
+\sin^2A=\frac{1}{2}(1-\cos 2A)
+$$
+をもちいた。計算をすすめると
+\begin{align}
+\langle\varphi_m|\varphi_m\rangle&=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}\left(1-\sin  \frac{2m\pi}{L}x\right) dx\\
+&=\frac{1}{L}\left[x-\frac{L}{2m\pi}\cos  \frac{2m\pi}{L}x\right]_{0}^{L}\\
+&=\frac{1}{L}\left(L-0\right)=1
+\end{align}
+===== 直交性 =====
+直交性を調べるためにを計算する。ただし、とする。
+三角関数の公式
+をもちいると

lectures/三角関数の定積分.1598417328.txt.gz · 最終更新: 2022/08/23 13:34 (外部編集)