応用数学I

この講義では所謂「線形代数学」の講義をします。¹⁾

1. 行列
2. 連立一次方程式
3. 行列の基本変形
4. 行列の階数（ランク）
5. 行列の演算
6. 逆行列
7. 行列式
8. ベクトル空間
9. 内積空間
10. 一次変換
11. 基底
12. 行列の固有値と固有ベクトル
13. 行列の対角化

について学びます。

• 章末問題

$$ \begin{bmatrix} 1&-2\\ 2&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&-2\\ 2&1 \end{bmatrix} $$

$$ \begin{bmatrix} 1&0\\ -2&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&-2\\ 2&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&-2\\ 0&5 \end{bmatrix} $$

$$ A=\left[\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34} \end{array}\right] $$

全ての成分が0の行列。

零行列については、 $$O=\left[\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right]$$

1. $A+O=O+A=A$
2. $A+(-1)A=A-A=(-1)A+A=O$
3. $AO=O$, $OA=O$ ²⁾

が成り立つ

$$A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{array}\right]$$ 行と列の数が同じ行列。この講義では主にこの形の行列を扱う。以下の行列はすべて正方行列である。

$$E=\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right]$$ 単位行列については、

1. $AE=EA=A$

が成り立つ

$A\ne O$であっても$A^{2}=O$となるような行列があり、このような行列については$m>2$についても $$A^{m}=O$$ が成立する。

$$AA^{-1}=A^{-1}A=E$$

$$|A|\ne 0$$

$$\tilde{A}_{23}=\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&0&a_{14}\\0&0&1&0\\a_{31}&a_{32}&0&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&0&a_{44}\end{array}\right|$$

$$\tilde{A}=\left[\begin{array}{cccc}\tilde{A}_{11}&\tilde{A}_{21}&\tilde{A}_{31}&\tilde{A}_{41}\\\tilde{A}_{12}&\tilde{A}_{22}&\tilde{A}_{32}&\tilde{A}_{42}\\\tilde{A}_{13}&\tilde{A}_{23}&\tilde{A}_{33}&\tilde{A}_{43}\\\tilde{A}_{14}&\tilde{A}_{24}&\tilde{A}_{34}&\tilde{A}_{44}\end{array}\right]$$

$$A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&0&0&0\\0&a_{22}&0&0\\0&0&a_{33}&0\\0&0&0&a_{44}\end{array}\right]$$

$$A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\end{array}\right]$$

$$A^{-1}={}^{t}A$$

$$A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}&a_{34}\\a_{14}&a_{24}&a_{34}&a_{44}\end{array}\right]$$

$${}^{t}A=\left[\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{21}&A_{31}&A_{41}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}&A_{42}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}&A_{43}\\A_{14}&A_{24}&A_{34}&A_{44}\end{array}\right]$$

jp%3A4320016602?tag=splitbrain-20

jp%3A4563011169?tag=splitbrain-20jp%3A4320017382?tag=splitbrain-20jp%3A4320016831?tag=splitbrain-20

$$ \tilde{A}_{32}=\left|\begin{array}{cccc} a_{11}& 0 &a_{13}&a_{14}\\ a_{21}& 0 &a_{23}&a_{24}\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ a_{41}& 0 &a_{43}&a_{44} \end{array}\right| =(-1)^{3-1+2-1}\left|\begin{array}{ccc} a_{11}& a_{13}&a_{14}\\ a_{21}& a_{23}&a_{24}\\ a_{41}& a_{43}&a_{44} \end{array}\right| $$

$$|A|=\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{array}\right|=a_{11}\tilde{A}_{11}+a_{12}\tilde{A}_{12}+a_{13}\tilde{A}_{13}+a_{14}\tilde{A}_{14}$$

$$\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{array}\right|$$

$$A^{-1}=\displaystyle\frac{1}{|A|}\tilde{A}$$