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トレース: • gaussian_integral

lectures:逆行列

差分

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--- lectures:逆行列 [2023/05/12 14:09] – [CASE A] kimi
+++ lectures:逆行列 [2023/08/08 11:55] (現在) – [CASE A] kimi
@@ 行 1: / 行 1: @@
 ====== 逆行列 ======
 ===== 定義 =====
-正方行列$A$に対して、
+正方行列
-$$XA=I
-$$
-を満たすような正方行列$X$が存在するとき、$X$を$A$の逆行列とよび、$$X=A^{-1}$$と書く。
 $$
 A=\begin{bmatrix}
@@ 行 15: / 行 10: @@
 \end{bmatrix}
 $$
+に対して、
+$$XA=I
+$$
+を満たすような正方行列$X$が存在するとき、$X$を$A$の逆行列とよび、$$X=A^{-1}$$と書く。
-===== 行列の行基本変形 =====
+===== 行列の基本変形 =====
+==== 行基本変形 ====
   * ある行を何倍かする（0倍以外）
   * ある行の何倍かを他の行に加える
   * ある行と別の行を交換する
-→ 基本行列を左から掛け算する
+→ 基本行列を左から掛ける
+==== 列基本変形 ====
+  * ある列を何倍かする（0倍以外）
+  * ある列の何倍かを他の列に加える
+  * ある列と別の列を交換する
+→ 基本行列を右から掛ける
+===== 逆行列の存在 =====
 ==== CASE A ====
   * 適当な行基本変形により単位行列に変形できる。$\Leftrightarrow\mathrm{rank}A=n$
@@ 行 38: / 行 45: @@
 \end{bmatrix}
 $$
-  * 用いた行基本変形に対応する適当な基本行列を$R_1$, $R_2$, $\cdots$, $R_M$とすると
+  * 用いた行基本変形に対応する基本行列を$R_1$, $R_2$, $\cdots$, $R_M$とすると
-  * ただ1組の解をもつ
+$$
+R_M R_{M-1}\cdots R_2 R_1 A = I\Rightarrow A^{-1}= R_M R_{M-1}\cdots R_2 R_1
+$$
-==== CASE A ====
+==== CASE B ====
+  * 適当な行基本変形により単位行列に変形できない。$\Leftrightarrow\mathrm{rank}A<n$
 $$
 \begin{bmatrix}
-a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&\,&b_{1}\\
+a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
-a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&\,&b_{2}\\
+a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
-\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
-a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&\,&b_{n}
+a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}
 \end{bmatrix}
 \Rightarrow
 \begin{bmatrix}
-&\ast&\cdots&\ast&\,&\ast\\
+&\ast&\cdots&\ast\\
-&1&\cdots&\ast&\,&\ast\\
+&1&\cdots&\ast\\
-\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
-&0&\cdots&0&\,&0
+&0&\cdots&0
 \end{bmatrix}
 $$
-  * 解は無数に存在する（解にはパラメータが含まれる）
+  * 逆行列は存在しない（のではないだろうか）
+===== 逆行列の性質 =====
+==== 定理1 ====

lectures/逆行列.1683868164.txt.gz · 最終更新: 2023/05/12 14:09 by kimi