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lectures:微分方程式の解法

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--- lectures:微分方程式の解法 [2020/08/25 09:17] – [一階線形非斉次常微分方程式] kimi
+++ lectures:微分方程式の解法 [2022/08/23 13:34] (現在) – 外部編集 127.0.0.1
@@ 行 65: / 行 65: @@
 $$
-$\pm e^{C_1-C_2}$を新たに定数$C$とおくことにより、
+$\pm e^{C_1-C_2}$を新たに定数$C_3$とおくことにより、
 $$
-g(x)=C e^{ax}
+g(x)=C_3 e^{ax}
 $$
 と$g(x)$を求めることができる
@@ 行 110: / 行 110: @@
 $$
 ここで$\frac{C_3}{2a}$をまとめて$C$とおいた。
+===== まとめ =====
+以上のことは$a$が一般の複素数の場合にも成り立つので$a=ik$とおくことにより、$b\ne 0$に対して
+$$
+\frac{d^2}{dx^2}f(x)+k^2f(x)=0
+$$
+の解は
+$$
+f(x)=Ce^{ikx}+De^{-ikx}
+$$
+となることがわかる。
+まとめると、
+$$
+\frac{d^2}{dx^2}f(x)+Af(x)=0
+$$
+の形の微分方程式（ただし、$A\ne 0$）の解は、
+$A<0$のとき$A=-a^2$とおくと
+$$
+f(x)=Ce^{ax}+De^{-ax}
+$$
+$A>0$のとき$A=k^2$とおくと
+$$
+f(x)=Ce^{ikx}+De^{-ikx}
+$$
+となる。
+この結果は今後、特に証明等を行わずによく用いる。

lectures/微分方程式の解法.1598314626.txt.gz · 最終更新: 2022/08/23 13:34 (外部編集)