lectures:基本変形
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行 1: | 行 1: | ||
+ | |||
+ | ===== 係数行列(拡大係数行列) ===== | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ | ||
+ | a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\ | ||
+ | \vdots\\ | ||
+ | a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}=b_{n} | ||
+ | \end{cases} | ||
+ | \Rightarrow | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | a_{11}& | ||
+ | a_{21}& | ||
+ | \vdots& | ||
+ | a_{n1}& | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | ===== 行列の行基本変形 ===== | ||
+ | * ある行を何倍かする(0倍以外) | ||
+ | * ある行の何倍かを他の行に加える | ||
+ | * ある行と別の行を交換する | ||
+ | |||
+ | ==== CASE A ==== | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | a_{11}& | ||
+ | a_{21}& | ||
+ | \vdots& | ||
+ | a_{n1}& | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | \Rightarrow | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | 1& | ||
+ | 0& | ||
+ | \vdots& | ||
+ | 0& | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | * 解は無数に存在する(解にはパラメータが含まれる) | ||
+ | |||
+ | ==== CASE B ==== | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | a_{11}& | ||
+ | a_{21}& | ||
+ | \vdots& | ||
+ | a_{n1}& | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | \Rightarrow | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | 1& | ||
+ | 0& | ||
+ | \vdots& | ||
+ | 0& | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | * ただ1組の解をもつ | ||
+ | |||
+ | ==== CASE C ==== | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | a_{11}& | ||
+ | a_{21}& | ||
+ | \vdots& | ||
+ | a_{n1}& | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | \Rightarrow | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | 1& | ||
+ | 0& | ||
+ | \vdots& | ||
+ | 0& | ||
+ | \end{bmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | * 解は存在しない | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
====== 基本変形と基本行列 ====== | ====== 基本変形と基本行列 ====== | ||
===== 基本変形 ===== | ===== 基本変形 ===== | ||
- | | + | |
- | | + | |
- | | + | |
+ | |||
+ | ; 行基本変形 : ($(n\times n)$基本行列)($(n\times m)$行列) | ||
+ | ; 列基本変形 : ($(n\times m)$行列)($(m\times m)$基本行列) | ||
+ | |||
===== 基本行列 ===== | ===== 基本行列 ===== | ||
- | ==== 置換行列 | + | ==== 置換 ==== |
$$ | $$ | ||
行 18: | 行 109: | ||
\end{array}} \right]$$ | \end{array}} \right]$$ | ||
- | $$ (T_{ij})_{\ell, | + | * $ (T_{ij})_{\ell, |
+ | * ${}^tT_{ij}=T_{ij}$ ($T_{ij}=T_{ji}$) | ||
+ | * $|T_{ij}|=-1$ | ||
+ | * $|T_{ij}A|=-|A|$ | ||
+ | * $T_{ij}^{-1}=T_{ij}$ | ||
==== スケール変換 ==== | ==== スケール変換 ==== | ||
$$ | $$ | ||
行 32: | 行 126: | ||
\end{array}} \right] $$ | \end{array}} \right] $$ | ||
- | $$ | + | * $(D_{i}(s))_{\ell, |
- | (D_{i}(s))_{\ell, | + | |
- | $$ | + | * $|D_{i}(s)|=s$ |
+ | * $|D_{i}(s)A|=s|A|$ | ||
+ | * $D_{i}(s)^{-1}=D_{i}(s^{-1})$ | ||
+ | ==== Row-addition transformations ==== | ||
+ | $$ L_{ij}(s)=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} | ||
+ | 1& | ||
+ | {}& \ddots & | ||
+ | {}& | ||
+ | {}& | ||
+ | {}& | ||
+ | {}& | ||
+ | {}& | ||
+ | \end{array}} \right]$$ | ||
+ | |||
+ | * $(L_{ij}(s))_{\ell, | ||
+ | * $L_{ij}(0)=E$ | ||
+ | * $|L_{ij}(s)|=1$ | ||
+ | * $|L_{ij}(s)A|=|A|$ | ||
+ | * $L_{ij}(s)^{-1}=L_{ij}(-s)$ |
lectures/基本変形.txt · 最終更新: 2023/05/12 13:29 by kimi