seminar:reading
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| seminar:reading [2019/06/03 16:09] – [ブリッホの定理] kimi | seminar:reading [2023/03/10 08:44] – [はじめに] kimi | ||
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| ===== はじめに ===== | ===== はじめに ===== | ||
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| + | [[https:// | ||
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| 卒業研究の具体的な課題に入る前に、 | 卒業研究の具体的な課題に入る前に、 | ||
| 行 19: | 行 22: | ||
| 対称操作$T$がハミルトニアン$H$を不変に保つなら、$H$と$T$は可換であるから | 対称操作$T$がハミルトニアン$H$を不変に保つなら、$H$と$T$は可換であるから | ||
| $$ [H, T]=0 $$ | $$ [H, T]=0 $$ | ||
| + | すなわち、 | ||
| + | $$ HT-TH =0 $$ | ||
| $T$の固有関数による可換な交換子の行列要素は、 | $T$の固有関数による可換な交換子の行列要素は、 | ||
| 行 34: | 行 39: | ||
| したがって | したがって | ||
| $$T_i\ne T_j \Rightarrow \langle\psi_j|H| \psi_i\rangle | $$T_i\ne T_j \Rightarrow \langle\psi_j|H| \psi_i\rangle | ||
| - | ==== ブリッホの定理 ==== | + | ==== ブロッホの定理 ==== |
| $T_{\vec{R}}$を並進操作の演算子とすると、 | $T_{\vec{R}}$を並進操作の演算子とすると、 | ||
| $$T_{\vec{R}}\psi(\vec{r})=\psi(\vec{r}+\vec{R}), | $$T_{\vec{R}}\psi(\vec{r})=\psi(\vec{r}+\vec{R}), | ||
| ただし、$\vec{R}$は格子ベクトルである。 | ただし、$\vec{R}$は格子ベクトルである。 | ||
| - | 並進操作は順序に依存しないので、$T_{\vec{R}+\vec{R' | + | |
| $T_{\vec{R}}$の固有値を$c(\vec{R})$とすると、 | $T_{\vec{R}}$の固有値を$c(\vec{R})$とすると、 | ||
| $$\psi(\vec{r}+\vec{R})=c(\vec{R})\psi(\vec{r}), | $$\psi(\vec{r}+\vec{R})=c(\vec{R})\psi(\vec{r}), | ||
| - | 並進対称性があるということは$\psi(\vec{r})＄と$\psi(\vec{r}+\vec{R})$は異なっていても$|\psi(\vec{r})|^2＄と$|\psi(\vec{r}+\vec{R})|^2$は見分けがつかないということであるので、 | + | 並進対称性があるということは$\psi(\vec{r})$と$\psi(\vec{r}+\vec{R})$は異なっていても$|\psi(\vec{r})|^2$と$|\psi(\vec{r}+\vec{R})|^2$は見分けがつかないということであるので、 |
| $$|c(\vec{R})|^2|\psi(\vec{r})|^2=|\psi(\vec{r})|^2, | $$|c(\vec{R})|^2|\psi(\vec{r})|^2=|\psi(\vec{r})|^2, | ||
| より | より | ||
| 行 50: | 行 55: | ||
| $$c(\vec{R})=e^{i\sigma}, | $$c(\vec{R})=e^{i\sigma}, | ||
| ここで$\sigma$は実数である | ここで$\sigma$は実数である | ||
| + | |||
| + | 並進操作は順序に依存しないので、$$T_{\vec{R}+\vec{R' | ||
| + | すなわち | ||
| + | $$\psi(\vec{r}+\vec{R}+\vec{R' | ||
| + | $$\psi(\vec{r}+\vec{R}+\vec{R' | ||
| + | したがって | ||
| + | $$c(\vec{R}+\vec{R' | ||
| + | これが成立するには | ||
| + | $$c(\vec{R})=e^{\vec{k}\cdot\vec{R}}$$ | ||
| + | であればよい。 | ||
| + | |||
| + | 波動関数に戻ると、 | ||
| + | $$\psi(\vec{r}+\vec{R})=e^{\vec{k}\cdot\vec{R}}\psi(\vec{r})$$ | ||
| + | となるためには、$\psi(\vec{r})=e^{\vec{k}\cdot\vec{r}}u_\vec{k}(\vec{r})$とおくと、 | ||
| + | $$\psi(\vec{r}+\vec{R})=e^{\vec{k}\cdot(\vec{r}+\vec{R})}u_\vec{k}(\vec{r}+\vec{R})=e^{\vec{k}\cdot\vec{R}}e^{\vec{k}\cdot\vec{r}}u_\vec{k}(\vec{r}+\vec{R})$$ | ||
| + | より | ||
| + | $u_\vec{k}(\vec{r}+\vec{R})=u_\vec{k}(\vec{r})$であれば$\psi(\vec{r}+\vec{R})=e^{\vec{k}\cdot\vec{R}}\psi(\vec{r})$が成立する。 | ||
seminar/reading.txt · 最終更新: 2023/12/07 16:42 by kimi