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lectures:math2

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lectures:math2 [2020/06/30 22:52] kimilectures:math2 [2023/09/26 08:40] (現在) – [微分の基本公式] kimi
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 ====== 数学II ====== ====== 数学II ======
-[[Stirlings_formula|$\ln n!\simeq n\ln n-n$]]+===== 微分の定義 ===== 
 +$$ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
  
-\[ +===== 微分の基本公式 =====
-\begin{align} +
-n!&=\int_0^\infty x^n e^{-x} dx\\ +
-&\int_0^\infty e^{n\ln x -x} dx\\  +
-\end{align} +
-\]+
  
-\[ +  * $(c)'=0$ ($c$は定数) 
-f(x)=n\ln x - +  * $(ax+b)'=a$ ($a$, $b$は定数) 
-\]+  * $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$ ([[微分の基本公式|$n = 2,3,4,\cdots$のとき]]) 
 +===== Topics =====
  
-\+  * [[三次方程式]] 
-\begin{align} +  * [[Maclaurin_exp|Maclaurin展開]] 
-f'(x)&=\frac{n}{x}- 1\+  * [[Gamma_function|Gamma function]] $\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^e^{-x}dx=n!$ 
-f''(x)&=-\frac{n}{x^2}\\ +  * [[Gaussian_integral|Gaussian integral]]  $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$ 
-\end{align} +  * [[Stirlings_formula|Stirling's formula]] $\ln n!\simeq n\ln n-n$
-\+
- +
-\[ +
-\begin{align} +
-f(x)&=f(n)+f'(n)(x-n)+\frac{1}{2}f''(n)(x-n)^2+\cdots\\ +
-f(n)&=n\ln n - n\\ +
-f'(n)&=\frac{n}{n}1=0\\ +
-f''(n)&=-\frac{n}{n^2}=-\frac{1}{n}\\ +
-\end{align} +
-\] +
- +
-\+
-f(x)=n\ln n - n-\frac{1}{2n}(x-n)^2+\cdots\\ +
-\] +
- +
-\[ +
-\begin{align} +
-\int_0^\infty e^{n\ln x -x} dx&=\int_0^\infty e^{n\ln n - n-\frac{1}{2n}(x-n)^2+\cdots} dx\\ +
-&=e^{n\ln n - n}\int_0^\infty e^{-\frac{1}{2n}(x-n)^2+\cdots} dx +
- +
-\end{align} +
-\]+
  
lectures/math2.1593525122.txt.gz · 最終更新: 2022/08/23 13:34 (外部編集)

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