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lectures:gaussian_integral

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+++ lectures:gaussian_integral [2022/08/23 13:34] (現在) – 外部編集 127.0.0.1
@@ 行 1: / 行 1: @@
 ====== Gaussian integral ======
+===== 計算例1 =====
+$$
+\begin{align}
+I&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\\
+&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy\\
+I^2&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy\\
+&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy\\
+&=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdrd\theta\\
+&=2\pi\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdr\\
+&=\pi\int_{0}^{\infty}e^{-\rho}d\rho\\
+&=\pi\\
+I&=\sqrt{\pi}
+\end{align}
+$$
+$I=\sqrt{\pi}$
+===== 計算例2 =====
 $$
 \begin{align}
+\frac{I}{2}&=\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx\\
 \int_{0}^{\infty}e^{-(1+t^2)x}dx&=\left[-\frac{e^{-(1+t^2)x}}{1+t^2}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{1+t^2}\\
 \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-(1+t^2)x}dxdt&=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+t^2}dt\\
@@ 行 10: / 行 29: @@
 \int_{0}^{\infty}e^{-x}\frac{1}{\sqrt{x}}\int_{0}^{\infty}e^{-\tau^2}d\tau dx&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\\
 \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}dx\int_{0}^{\infty}e^{-\tau^2}d\tau &=\frac{\pi}{2}\\
-&=\pi\int_{0}^{\infty}e^{-\rho}d\rho\\
+\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-u^2}}{u}2udu\int_{0}^{\infty}e^{-\tau^2}d\tau &=\frac{\pi}{2}\\
-&=\pi\\
+\frac{I}{2}\frac{I}{2}&=\frac{\pi}{2}\\
+I^2&=\pi\\
 I&=\sqrt{\pi}
 \end{align}
@@ 行 21: / 行 41: @@
-$$
-\begin{align}
-I&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\\
-&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy\\
-I^2&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy\\
-&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy\\
-&=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdrd\theta\\
-&=2\pi\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdr\\
-&=\pi\int_{0}^{\infty}e^{-\rho}d\rho\\
-&=\pi\\
-I&=\sqrt{\pi}
-\end{align}
-$$

lectures/gaussian_integral.1641532709.txt.gz · 最終更新: 2022/08/23 13:34 (外部編集)