lectures:ehrenfestの定理
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| lectures:ehrenfestの定理 [2018/11/22 11:04] – [演算子の期待値に対する運動方程式] kimi | lectures:ehrenfestの定理 [2022/08/23 13:34] (現在) – 外部編集 127.0.0.1 | ||
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| 演算子$A$で表される物理量の期待値は、 | 演算子$A$で表される物理量の期待値は、 | ||
| - | $$\left\langle A\right\rangle=\left\langle\psi |A|\psi\right\rangle$$ | + | $$\left\langle A\right\rangle=\left\langle\psi |A|\psi\right\rangle |
| - | で表される。ここで$\psi$は時間に依存する波動関数で、シュレディンガー方程式 | + | で表される。 |
| - | $$-\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial t}={\cal H}\psi$$ | + | |
| - | を満たす。物理量の期待値の時間変化はこの波動関数の時間変化に依る。 | + | 物理量の期待値の時間変化はこの波動関数の時間変化に依る。 |
| この物理量の期待値を時間で微分すると、 | この物理量の期待値を時間で微分すると、 | ||
| - | $$\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left\langle A\right\rangle=\frac{\partial}{{\partial}t}\left\langle\psi |A|\psi\right\rangle$$ | + | $$\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left\langle A\right\rangle=\frac{\partial}{{\partial}t}\left\langle\psi |A|\psi\right\rangle=\left\langle\frac{\partial\psi}{{\partial}t} \right|A\left|\psi\right\rangle+\left\langle\psi \right|A\left|\frac{\partial\psi}{{\partial}t}\right\rangle .$$ |
| + | ただし$A$はあらわには時間に依存しないと仮定した。 | ||
| + | |||
| + | ここで$\psi$は時間に依存する波動関数で、シュレディンガー方程式 | ||
| + | $$-\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial t}={\cal H}\psi ,$$ | ||
| + | を満たすので、 | ||
| + | $$\left|\frac{\partial\psi}{{\partial}t}\right\rangle=-\frac{i}{\hbar}|{\cal H}\psi\rangle .$$ | ||
| + | この複素共役をとると、 | ||
| + | $$\left\langle\frac{\partial\psi}{{\partial}t} \right|=\frac{i}{\hbar}\langle{\cal H}\psi|.$$ | ||
| + | したがって、 | ||
| + | $$\frac{\partial}{{\partial}t}\left\langle\psi |A|\psi\right\rangle=\frac{i}{\hbar}\langle{\cal H}\psi|A|\psi\rangle-\frac{i}{\hbar}\langle\psi |A|{\cal H}\psi\rangle .$$ | ||
lectures/ehrenfestの定理.1542852257.txt.gz · 最終更新: 2022/08/23 13:34 (外部編集)