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lectures:連立一次方程式

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--- lectures:連立一次方程式 [2021/08/04 13:48] – [ただ一組の解が存在する場合] kimi
+++ lectures:連立一次方程式 [2023/09/05 11:01] – [CASE B] kimi
@@ 行 1: / 行 1: @@
 ====== 連立一次方程式 ======
-===== ただ一組の解が存在する場合 =====
-$
+===== 係数行列（拡大係数行列） =====
+$$
 \begin{cases}
-x+y=3&\cdots(1)\\
+a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\
-x-y=1&\cdots(2)\\
+a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\
+\vdots\\
+a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}=b_{n}
 \end{cases}
-$
+\Rightarrow
+\begin{bmatrix}
+a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&\,&b_{1}\\
+a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&\,&b_{2}\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\
+a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&\,&b_{n}
+\end{bmatrix}
+$$
+===== 行列の行基本変形 =====
+  * ある行を何倍かする（0倍以外）
+  * ある行の何倍かを他の行に加える
+  * ある行と別の行を交換する
+==== CASE A ====
+$$
+\begin{bmatrix}
+a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&\,&b_{1}\\
+a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&\,&b_{2}\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\
+a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&\,&b_{n}
+\end{bmatrix}
+\Rightarrow
+\begin{bmatrix}
+&\ast&\cdots&\ast&\,&\ast\\
+&1&\cdots&\ast&\,&\ast\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\
+&0&\cdots&0&\,&0
+\end{bmatrix}
+$$
+  * 解は無数に存在する（解にはパラメータが含まれる）
+==== CASE C ====
+$$
+\begin{bmatrix}
+a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&\,&b_{1}\\
+a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&\,&b_{2}\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\
+a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&\,&b_{n}
+\end{bmatrix}
+\Rightarrow
+\begin{bmatrix}
+&\ast&\cdots&\ast&\,&\ast\\
+&1&\cdots&\ast&\,&\ast\\
+\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&&\vdots\\
+&0&\cdots&0&\,&\ast
+\end{bmatrix}
+$$
+  * 解は存在しない
+===== ただ一組の解が存在する場合 =====
 {{:lectures:figure11.png?200|}}
-$(1)+(2)$より$2x=4$
+$$
+\begin{array}{ll}
+&\begin{cases}
+x+y=3&\cdots(1)\\
+x-y=1&\cdots(2)\\
+\end{cases}\\
+&\begin{cases}
+x+1y=3&\cdots(1)\\
+x+(-1)y=1&\cdots(2)\\
+\end{cases}\\
+(2)+(-1)\times(1)\to(2)'&\\
+&\begin{cases}
+x+1y=3&\cdots(1)\\
+x+(-2)y=-2&\cdots(2)'\\
+\end{cases}\\
+(2)'\div(-2)\to(2)''&\\
+&\begin{cases}
+x+1y=3&\cdots(1)\\
+x+1y=1&\cdots(2)''\\
+\end{cases}\\
+(1)+(-1)\times(2)''\to(1)'&\\
+\end{array}
+$$

lectures/連立一次方程式.txt · 最終更新: 2023/09/05 11:02 by kimi